Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4658 / 3894
↖ ↑ ↗
← N  8.841651°
E 24.697266°		 ← 4 828.43 m → N  8.841651°
E 24.741211°		 →
↑
4 828.71 m
↓
↑
4 828.71 m
↓
N  8.798225°
E 24.697266°		 ← 4 828.99 m →
23 316 436 m²		 N  8.798225°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56866455078125 y=0.47540283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56866455078125 × 213)
    floor (0.56866455078125 × 8192)
    floor (4658.5)     		tx = 4658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47540283203125 × 213)
    floor (0.47540283203125 × 8192)
    floor (3894.5)     		ty = 3894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4658 / 3894 ti = "13/4658/3894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4658/3894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4658 ÷ 213
    4658 ÷ 8192     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3894 ÷ 213
    3894 ÷ 8192     		y = 0.475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.475341796875 × 2 - 1) × π
    0.04931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.154932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.154932059572021))-π/2
    2×atan(1.16757863261835)-π/2
    2×0.862556125080644-π/2
    1.72511225016129-1.57079632675     		φ = 0.15431592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15431592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.841651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4658 KachelY 3894 0.43104860 0.15431592 24.697266 8.841651
    Oben rechts KachelX + 1 4659 KachelY 3894 0.43181559 0.15431592 24.741211 8.841651
    Unten links KachelX 4658 KachelY + 1 3895 0.43104860 0.15355800 24.697266 8.798225
    Unten rechts KachelX + 1 4659 KachelY + 1 3895 0.43181559 0.15355800 24.741211 8.798225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15431592-0.15355800) × R
    0.000757919999999995 × 6371000     		dl = 4828.70831999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15431592-0.15355800) × R
    0.000757919999999995 × 6371000     		dr = 4828.70831999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43181559) × cos(0.15431592) × R
    0.000766990000000023 × 0.988116907926707 × 6371000     		do = 4828.42664031954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43181559) × cos(0.15355800) × R
    0.000766990000000023 × 0.988233119582641 × 6371000     		du = 4828.99450779649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15431592)-sin(0.15355800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988116907926707-0.988233119582641)×R²
    abs(0.43181559-0.43104860)×0.000116211655934784×R²
    0.000766990000000023×0.000116211655934784×6371000²
    0.000766990000000023×0.000116211655934784×40589641000000     		ar = 23316436.0399893m²