Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46575 / 83447
↖ ↑ ↗
← S 44.069827°
W 52.077942°		 ← 219.40 m → S 44.069827°
W 52.075195°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
S 44.071801°
W 52.077942°		 ← 219.39 m →
48 153 m²		 S 44.071801°
W 52.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355342864990234 y=0.636653900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355342864990234 × 217)
    floor (0.355342864990234 × 131072)
    floor (46575.5)     		tx = 46575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636653900146484 × 217)
    floor (0.636653900146484 × 131072)
    floor (83447.5)     		ty = 83447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46575 / 83447 ti = "17/46575/83447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46575/83447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46575 ÷ 217
    46575 ÷ 131072     		x = 0.355339050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83447 ÷ 217
    83447 ÷ 131072     		y = 0.636650085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355339050292969 × 2 - 1) × π
    -0.289321899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.90893155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636650085449219 × 2 - 1) × π
    -0.273300170898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.858597809094826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90893155} λ = -0.90893155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858597809094826))-π/2
    2×atan(0.423755852533301)-π/2
    2×0.400816371554821-π/2
    0.801632743109641-1.57079632675     		φ = -0.76916358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90893155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.077942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76916358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.069827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46575 KachelY 83447 -0.90893155 -0.76916358 -52.077942 -44.069827
    Oben rechts KachelX + 1 46576 KachelY 83447 -0.90888362 -0.76916358 -52.075195 -44.069827
    Unten links KachelX 46575 KachelY + 1 83448 -0.90893155 -0.76919803 -52.077942 -44.071801
    Unten rechts KachelX + 1 46576 KachelY + 1 83448 -0.90888362 -0.76919803 -52.075195 -44.071801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76916358--0.76919803) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76916358--0.76919803) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90893155--0.90888362) × cos(-0.76916358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.718492679854775 × 6371000     		do = 219.400383260729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90893155--0.90888362) × cos(-0.76919803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7184687182642 × 6371000     		du = 219.393066300788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76916358)-sin(-0.76919803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718492679854775-0.7184687182642)×R²
    abs(-0.90888362--0.90893155)×2.39615905757162e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39615905757162e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39615905757162e-05×40589641000000     		ar = 48153.4015866095m²