Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46573 / 83459
↖ ↑ ↗
← S 44.093503°
W 52.083435°		 ← 219.36 m → S 44.093503°
W 52.080688°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.095476°
W 52.083435°		 ← 219.35 m →
48 116 m²		 S 44.095476°
W 52.080688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355327606201172 y=0.636745452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355327606201172 × 217)
    floor (0.355327606201172 × 131072)
    floor (46573.5)     		tx = 46573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636745452880859 × 217)
    floor (0.636745452880859 × 131072)
    floor (83459.5)     		ty = 83459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46573 / 83459 ti = "17/46573/83459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46573/83459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46573 ÷ 217
    46573 ÷ 131072     		x = 0.355323791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83459 ÷ 217
    83459 ÷ 131072     		y = 0.636741638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355323791503906 × 2 - 1) × π
    -0.289352416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.90902743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636741638183594 × 2 - 1) × π
    -0.273483276367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.859173051890266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90902743} λ = -0.90902743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859173051890266))-π/2
    2×atan(0.423512160129975)-π/2
    2×0.400609759028327-π/2
    0.801219518056653-1.57079632675     		φ = -0.76957681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90902743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.083435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76957681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.093503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46573 KachelY 83459 -0.90902743 -0.76957681 -52.083435 -44.093503
    Oben rechts KachelX + 1 46574 KachelY 83459 -0.90897949 -0.76957681 -52.080688 -44.093503
    Unten links KachelX 46573 KachelY + 1 83460 -0.90902743 -0.76961124 -52.083435 -44.095476
    Unten rechts KachelX + 1 46574 KachelY + 1 83460 -0.90897949 -0.76961124 -52.080688 -44.095476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76957681--0.76961124) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76957681--0.76961124) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90902743--0.90897949) × cos(-0.76957681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718205202788555 × 6371000     		do = 219.358355533401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90902743--0.90897949) × cos(-0.76961124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718181244889019 × 6371000     		du = 219.351038174206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76957681)-sin(-0.76961124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718205202788555-0.718181244889019)×R²
    abs(-0.90897949--0.90902743)×2.39578995361311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39578995361311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39578995361311e-05×40589641000000     		ar = 48116.2270819241m²