Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4657 / 4780
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E 24.653320°		 ← 4 283.39 m → S 28.767659°
E 24.697266°		 →
↑
4 282.59 m
↓
↑
4 282.59 m
↓
S 28.806173°
E 24.653320°		 ← 4 281.81 m →
18 340 621 m²		 S 28.806173°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56854248046875 y=0.58355712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56854248046875 × 213)
    floor (0.56854248046875 × 8192)
    floor (4657.5)     		tx = 4657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58355712890625 × 213)
    floor (0.58355712890625 × 8192)
    floor (4780.5)     		ty = 4780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4657 / 4780 ti = "13/4657/4780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4657/4780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4657 ÷ 213
    4657 ÷ 8192     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4780 ÷ 213
    4780 ÷ 8192     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4657 KachelY 4780 0.43028161 -0.50209037 24.653320 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 4658 KachelY 4780 0.43104860 -0.50209037 24.697266 -28.767659
    Unten links KachelX 4657 KachelY + 1 4781 0.43028161 -0.50276257 24.653320 -28.806173
    Unten rechts KachelX + 1 4658 KachelY + 1 4781 0.43104860 -0.50276257 24.697266 -28.806173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50276257) × R
    0.000672200000000012 × 6371000     		dl = 4282.58620000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50276257) × R
    0.000672200000000012 × 6371000     		dr = 4282.58620000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43104860) × cos(-0.50209037) × R
    0.000766990000000023 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 4283.39480445898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43104860) × cos(-0.50276257) × R
    0.000766990000000023 × 0.876254768202742 × 6371000     		du = 4281.81304515333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50276257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876254768202742)×R²
    abs(0.43104860-0.43028161)×0.00032370029216755×R²
    0.000766990000000023×0.00032370029216755×6371000²
    0.000766990000000023×0.00032370029216755×40589641000000     		ar = 18340621.1590465m²