Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4656 / 4944
↖ ↑ ↗
← S 34.885931°
E 24.609375°		 ← 4 008.35 m → S 34.885931°
E 24.653320°		 →
↑
4 007.49 m
↓
↑
4 007.49 m
↓
S 34.921971°
E 24.609375°		 ← 4 006.59 m →
16 059 897 m²		 S 34.921971°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56842041015625 y=0.60357666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56842041015625 × 213)
    floor (0.56842041015625 × 8192)
    floor (4656.5)     		tx = 4656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60357666015625 × 213)
    floor (0.60357666015625 × 8192)
    floor (4944.5)     		ty = 4944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4656 / 4944 ti = "13/4656/4944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4656/4944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4656 ÷ 213
    4656 ÷ 8192     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4944 ÷ 213
    4944 ÷ 8192     		y = 0.603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603515625 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650407854044922))-π/2
    2×atan(0.521832901693259)-π/2
    2×0.48096098463532-π/2
    0.961921969270641-1.57079632675     		φ = -0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4656 KachelY 4944 0.42951462 -0.60887436 24.609375 -34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 4657 KachelY 4944 0.43028161 -0.60887436 24.653320 -34.885931
    Unten links KachelX 4656 KachelY + 1 4945 0.42951462 -0.60950338 24.609375 -34.921971
    Unten rechts KachelX + 1 4657 KachelY + 1 4945 0.43028161 -0.60950338 24.653320 -34.921971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60887436--0.60950338) × R
    0.000629020000000091 × 6371000     		dl = 4007.48642000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60887436--0.60950338) × R
    0.000629020000000091 × 6371000     		dr = 4007.48642000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(-0.60887436) × R
    0.000766989999999967 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 4008.35301995548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(-0.60950338) × R
    0.000766989999999967 × 0.819932414196343 × 6371000     		du = 4006.59424022376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60887436)-sin(-0.60950338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.819932414196343)×R²
    abs(0.43028161-0.42951462)×0.000359926766976715×R²
    0.000766989999999967×0.000359926766976715×6371000²
    0.000766989999999967×0.000359926766976715×40589641000000     		ar = 16059896.6806242m²