Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4656 / 3535
↖ ↑ ↗
← N 23.926013°
E 24.609375°		 ← 4 466.60 m → N 23.926013°
E 24.653320°		 →
↑
4 467.28 m
↓
↑
4 467.28 m
↓
N 23.885838°
E 24.609375°		 ← 4 467.99 m →
19 956 646 m²		 N 23.885838°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56842041015625 y=0.43157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56842041015625 × 213)
    floor (0.56842041015625 × 8192)
    floor (4656.5)     		tx = 4656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43157958984375 × 213)
    floor (0.43157958984375 × 8192)
    floor (3535.5)     		ty = 3535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4656 / 3535 ti = "13/4656/3535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4656/3535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4656 ÷ 213
    4656 ÷ 8192     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3535 ÷ 213
    3535 ÷ 8192     		y = 0.4315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4315185546875 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.430281610989624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430281610989624))-π/2
    2×atan(1.53769049312243)-π/2
    2×0.994192015542475-π/2
    1.98838403108495-1.57079632675     		φ = 0.41758770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41758770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.926013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4656 KachelY 3535 0.42951462 0.41758770 24.609375 23.926013
    Oben rechts KachelX + 1 4657 KachelY 3535 0.43028161 0.41758770 24.653320 23.926013
    Unten links KachelX 4656 KachelY + 1 3536 0.42951462 0.41688651 24.609375 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 4657 KachelY + 1 3536 0.43028161 0.41688651 24.653320 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41758770-0.41688651) × R
    0.000701190000000018 × 6371000     		dl = 4467.28149000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41758770-0.41688651) × R
    0.000701190000000018 × 6371000     		dr = 4467.28149000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(0.41758770) × R
    0.000766989999999967 × 0.91406992318091 × 6371000     		do = 4466.59654621414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(0.41688651) × R
    0.000766989999999967 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 4467.98503114894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41758770)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91406992318091-0.91435407069783)×R²
    abs(0.43028161-0.42951462)×0.000284147516920075×R²
    0.000766989999999967×0.000284147516920075×6371000²
    0.000766989999999967×0.000284147516920075×40589641000000     		ar = 19956646.2683949m²