Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4656 / 3325
↖ ↑ ↗
← N 32.063956°
E 24.609375°		 ← 4 141.09 m → N 32.063956°
E 24.653320°		 →
↑
4 141.98 m
↓
↑
4 141.98 m
↓
N 32.026706°
E 24.609375°		 ← 4 142.77 m →
17 155 789 m²		 N 32.026706°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56842041015625 y=0.40594482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56842041015625 × 213)
    floor (0.56842041015625 × 8192)
    floor (4656.5)     		tx = 4656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40594482421875 × 213)
    floor (0.40594482421875 × 8192)
    floor (3325.5)     		ty = 3325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4656 / 3325 ti = "13/4656/3325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4656/3325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4656 ÷ 213
    4656 ÷ 8192     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3325 ÷ 213
    3325 ÷ 8192     		y = 0.4058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    0.188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.591349593713013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591349593713013))-π/2
    2×atan(1.80642471045608)-π/2
    2×1.06520896156033-π/2
    2.13041792312065-1.57079632675     		φ = 0.55962160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55962160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.063956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4656 KachelY 3325 0.42951462 0.55962160 24.609375 32.063956
    Oben rechts KachelX + 1 4657 KachelY 3325 0.43028161 0.55962160 24.653320 32.063956
    Unten links KachelX 4656 KachelY + 1 3326 0.42951462 0.55897147 24.609375 32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 4657 KachelY + 1 3326 0.43028161 0.55897147 24.653320 32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55962160-0.55897147) × R
    0.000650130000000027 × 6371000     		dl = 4141.97823000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55962160-0.55897147) × R
    0.000650130000000027 × 6371000     		dr = 4141.97823000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(0.55962160) × R
    0.000766989999999967 × 0.847456051208141 × 6371000     		do = 4141.0883077983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.43028161) × cos(0.55897147) × R
    0.000766989999999967 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 4142.77391589728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55962160)-sin(0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847456051208141-0.847801003712716)×R²
    abs(0.43028161-0.42951462)×0.000344952504575557×R²
    0.000766989999999967×0.000344952504575557×6371000²
    0.000766989999999967×0.000344952504575557×40589641000000     		ar = 17155789.0997016m²