Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4655 / 4871
↖ ↑ ↗
← S 32.212801°
E 24.565430°		 ← 4 134.34 m → S 32.212801°
E 24.609375°		 →
↑
4 133.50 m
↓
↑
4 133.50 m
↓
S 32.249975°
E 24.565430°		 ← 4 132.64 m →
17 085 801 m²		 S 32.249975°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56829833984375 y=0.59466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56829833984375 × 213)
    floor (0.56829833984375 × 8192)
    floor (4655.5)     		tx = 4655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59466552734375 × 213)
    floor (0.59466552734375 × 8192)
    floor (4871.5)     		ty = 4871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4655 / 4871 ti = "13/4655/4871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4655/4871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4655 ÷ 213
    4655 ÷ 8192     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4871 ÷ 213
    4871 ÷ 8192     		y = 0.5946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.594417555288696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.594417555288696))-π/2
    2×atan(0.551883914141989)-π/2
    2×0.50428844344123-π/2
    1.00857688688246-1.57079632675     		φ = -0.56221944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56221944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4655 KachelY 4871 0.42874763 -0.56221944 24.565430 -32.212801
    Oben rechts KachelX + 1 4656 KachelY 4871 0.42951462 -0.56221944 24.609375 -32.212801
    Unten links KachelX 4655 KachelY + 1 4872 0.42874763 -0.56286824 24.565430 -32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 4656 KachelY + 1 4872 0.42951462 -0.56286824 24.609375 -32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56221944--0.56286824) × R
    0.000648800000000005 × 6371000     		dl = 4133.50480000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56221944--0.56286824) × R
    0.000648800000000005 × 6371000     		dr = 4133.50480000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(-0.56221944) × R
    0.000766990000000023 × 0.846074089334179 × 6371000     		do = 4134.33536037445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(-0.56286824) × R
    0.000766990000000023 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 4132.64448304967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56221944)-sin(-0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846074089334179-0.845728058505028)×R²
    abs(0.42951462-0.42874763)×0.000346030829150745×R²
    0.000766990000000023×0.000346030829150745×6371000²
    0.000766990000000023×0.000346030829150745×40589641000000     		ar = 17085801.0314915m²