Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4655 / 4847
↖ ↑ ↗
← S 31.316101°
E 24.565430°		 ← 4 174.59 m → S 31.316101°
E 24.609375°		 →
↑
4 173.77 m
↓
↑
4 173.77 m
↓
S 31.353637°
E 24.565430°		 ← 4 172.93 m →
17 420 319 m²		 S 31.353637°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56829833984375 y=0.59173583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56829833984375 × 213)
    floor (0.56829833984375 × 8192)
    floor (4655.5)     		tx = 4655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59173583984375 × 213)
    floor (0.59173583984375 × 8192)
    floor (4847.5)     		ty = 4847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4655 / 4847 ti = "13/4655/4847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4655/4847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4655 ÷ 213
    4655 ÷ 8192     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4847 ÷ 213
    4847 ÷ 8192     		y = 0.5916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576009785834595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576009785834595))-π/2
    2×atan(0.562136944190751)-π/2
    2×0.512113624389306-π/2
    1.02422724877861-1.57079632675     		φ = -0.54656908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54656908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.316101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4655 KachelY 4847 0.42874763 -0.54656908 24.565430 -31.316101
    Oben rechts KachelX + 1 4656 KachelY 4847 0.42951462 -0.54656908 24.609375 -31.316101
    Unten links KachelX 4655 KachelY + 1 4848 0.42874763 -0.54722420 24.565430 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 4656 KachelY + 1 4848 0.42951462 -0.54722420 24.609375 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54656908--0.54722420) × R
    0.000655120000000009 × 6371000     		dl = 4173.76952000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54656908--0.54722420) × R
    0.000655120000000009 × 6371000     		dr = 4173.76952000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(-0.54656908) × R
    0.000766990000000023 × 0.854312798990235 × 6371000     		do = 4174.59375982703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(-0.54722420) × R
    0.000766990000000023 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 4172.92899039437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54656908)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854312798990235-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42951462-0.42874763)×0.000340687960436736×R²
    0.000766990000000023×0.000340687960436736×6371000²
    0.000766990000000023×0.000340687960436736×40589641000000     		ar = 17420318.634232m²