Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4655 / 3507
↖ ↑ ↗
← N 25.045792°
E 24.565430°		 ← 4 427.02 m → N 25.045792°
E 24.609375°		 →
↑
4 427.72 m
↓
↑
4 427.72 m
↓
N 25.005973°
E 24.565430°		 ← 4 428.45 m →
19 604 753 m²		 N 25.005973°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56829833984375 y=0.42816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56829833984375 × 213)
    floor (0.56829833984375 × 8192)
    floor (4655.5)     		tx = 4655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42816162109375 × 213)
    floor (0.42816162109375 × 8192)
    floor (3507.5)     		ty = 3507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4655 / 3507 ti = "13/4655/3507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4655/3507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4655 ÷ 213
    4655 ÷ 8192     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3507 ÷ 213
    3507 ÷ 8192     		y = 0.4281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451757342019409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451757342019409))-π/2
    2×atan(1.57107066948329)-π/2
    2×1.00396393257347-π/2
    2.00792786514694-1.57079632675     		φ = 0.43713154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43713154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.045792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4655 KachelY 3507 0.42874763 0.43713154 24.565430 25.045792
    Oben rechts KachelX + 1 4656 KachelY 3507 0.42951462 0.43713154 24.609375 25.045792
    Unten links KachelX 4655 KachelY + 1 3508 0.42874763 0.43643656 24.565430 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 4656 KachelY + 1 3508 0.42951462 0.43643656 24.609375 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43713154-0.43643656) × R
    0.000694980000000012 × 6371000     		dl = 4427.71758000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43713154-0.43643656) × R
    0.000694980000000012 × 6371000     		dr = 4427.71758000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(0.43713154) × R
    0.000766990000000023 × 0.905969729688246 × 6371000     		do = 4427.01500506486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(0.43643656) × R
    0.000766990000000023 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 4428.45161326262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43713154)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905969729688246-0.906263725425577)×R²
    abs(0.42951462-0.42874763)×0.000293995737331354×R²
    0.000766990000000023×0.000293995737331354×6371000²
    0.000766990000000023×0.000293995737331354×40589641000000     		ar = 19604753.4016221m²