Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4655 / 3376
↖ ↑ ↗
← N 30.145127°
E 24.565430°		 ← 4 225.63 m → N 30.145127°
E 24.609375°		 →
↑
4 226.39 m
↓
↑
4 226.39 m
↓
N 30.107118°
E 24.565430°		 ← 4 227.25 m →
17 862 595 m²		 N 30.107118°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56829833984375 y=0.41217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56829833984375 × 213)
    floor (0.56829833984375 × 8192)
    floor (4655.5)     		tx = 4655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41217041015625 × 213)
    floor (0.41217041015625 × 8192)
    floor (3376.5)     		ty = 3376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4655 / 3376 ti = "13/4655/3376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4655/3376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4655 ÷ 213
    4655 ÷ 8192     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3376 ÷ 213
    3376 ÷ 8192     		y = 0.412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412109375 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552233083623047))-π/2
    2×atan(1.73712784158869)-π/2
    2×1.0484640247818-π/2
    2.0969280495636-1.57079632675     		φ = 0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4655 KachelY 3376 0.42874763 0.52613172 24.565430 30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 4656 KachelY 3376 0.42951462 0.52613172 24.609375 30.145127
    Unten links KachelX 4655 KachelY + 1 3377 0.42874763 0.52546834 24.565430 30.107118
    Unten rechts KachelX + 1 4656 KachelY + 1 3377 0.42951462 0.52546834 24.609375 30.107118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52613172-0.52546834) × R
    0.000663379999999991 × 6371000     		dl = 4226.39397999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52613172-0.52546834) × R
    0.000663379999999991 × 6371000     		dr = 4226.39397999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(0.52613172) × R
    0.000766990000000023 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 4225.62514798123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42951462) × cos(0.52546834) × R
    0.000766990000000023 × 0.86508910863182 × 6371000     		du = 4227.25212458159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52613172)-sin(0.52546834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.86508910863182)×R²
    abs(0.42951462-0.42874763)×0.000332953818578341×R²
    0.000766990000000023×0.000332953818578341×6371000²
    0.000766990000000023×0.000332953818578341×40589641000000     		ar = 17862595.4642907m²