Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4654 / 3466
↖ ↑ ↗
← N 26.667096°
E 24.521484°		 ← 4 366.71 m → N 26.667096°
E 24.565430°		 →
↑
4 367.45 m
↓
↑
4 367.45 m
↓
N 26.627818°
E 24.521484°		 ← 4 368.22 m →
19 074 675 m²		 N 26.627818°
E 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56817626953125 y=0.42315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56817626953125 × 213)
    floor (0.56817626953125 × 8192)
    floor (4654.5)     		tx = 4654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42315673828125 × 213)
    floor (0.42315673828125 × 8192)
    floor (3466.5)     		ty = 3466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4654 / 3466 ti = "13/4654/3466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4654/3466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4654 ÷ 213
    4654 ÷ 8192     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3466 ÷ 213
    3466 ÷ 8192     		y = 0.423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423095703125 × 2 - 1) × π
    0.15380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483203948170166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483203948170166))-π/2
    2×atan(1.62126052441363)-π/2
    2×1.01811247522829-π/2
    2.03622495045659-1.57079632675     		φ = 0.46542862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46542862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.667096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4654 KachelY 3466 0.42798064 0.46542862 24.521484 26.667096
    Oben rechts KachelX + 1 4655 KachelY 3466 0.42874763 0.46542862 24.565430 26.667096
    Unten links KachelX 4654 KachelY + 1 3467 0.42798064 0.46474310 24.521484 26.627818
    Unten rechts KachelX + 1 4655 KachelY + 1 3467 0.42874763 0.46474310 24.565430 26.627818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46542862-0.46474310) × R
    0.000685519999999995 × 6371000     		dl = 4367.44791999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46542862-0.46474310) × R
    0.000685519999999995 × 6371000     		dr = 4367.44791999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42874763) × cos(0.46542862) × R
    0.000766989999999967 × 0.89362928052719 × 6371000     		do = 4366.71348304346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42874763) × cos(0.46474310) × R
    0.000766989999999967 × 0.893936735928101 × 6371000     		du = 4368.21586179698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46542862)-sin(0.46474310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89362928052719-0.893936735928101)×R²
    abs(0.42874763-0.42798064)×0.000307455400911261×R²
    0.000766989999999967×0.000307455400911261×6371000²
    0.000766989999999967×0.000307455400911261×40589641000000     		ar = 19074675.246228m²