Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4653 / 4849
↖ ↑ ↗
← S 31.391157°
E 24.477539°		 ← 4 171.26 m → S 31.391157°
E 24.521484°		 →
↑
4 170.46 m
↓
↑
4 170.46 m
↓
S 31.428663°
E 24.477539°		 ← 4 169.60 m →
17 392 596 m²		 S 31.428663°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56805419921875 y=0.59197998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56805419921875 × 213)
    floor (0.56805419921875 × 8192)
    floor (4653.5)     		tx = 4653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59197998046875 × 213)
    floor (0.59197998046875 × 8192)
    floor (4849.5)     		ty = 4849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4653 / 4849 ti = "13/4653/4849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4653/4849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4653 ÷ 213
    4653 ÷ 8192     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4849 ÷ 213
    4849 ÷ 8192     		y = 0.5919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.577543766622437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577543766622437))-π/2
    2×atan(0.561275297961568)-π/2
    2×0.511458636011755-π/2
    1.02291727202351-1.57079632675     		φ = -0.54787905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54787905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.391157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4653 KachelY 4849 0.42721365 -0.54787905 24.477539 -31.391157
    Oben rechts KachelX + 1 4654 KachelY 4849 0.42798064 -0.54787905 24.521484 -31.391157
    Unten links KachelX 4653 KachelY + 1 4850 0.42721365 -0.54853365 24.477539 -31.428663
    Unten rechts KachelX + 1 4654 KachelY + 1 4850 0.42798064 -0.54853365 24.521484 -31.428663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54787905--0.54853365) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dl = 4170.45659999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54787905--0.54853365) × R
    0.00065459999999995 × 6371000     		dr = 4170.45659999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(-0.54787905) × R
    0.000766990000000023 × 0.853631197196795 × 6371000     		do = 4171.26311723693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(-0.54853365) × R
    0.000766990000000023 × 0.853290047661569 × 6371000     		du = 4169.59609232216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54787905)-sin(-0.54853365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853631197196795-0.853290047661569)×R²
    abs(0.42798064-0.42721365)×0.000341149535226459×R²
    0.000766990000000023×0.000341149535226459×6371000²
    0.000766990000000023×0.000341149535226459×40589641000000     		ar = 17392596.2911518m²