Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4653 / 3347
↖ ↑ ↗
← N 31.240986°
E 24.477539°		 ← 4 177.92 m → N 31.240986°
E 24.521484°		 →
↑
4 178.80 m
↓
↑
4 178.80 m
↓
N 31.203405°
E 24.477539°		 ← 4 179.58 m →
17 462 175 m²		 N 31.203405°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56805419921875 y=0.40863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56805419921875 × 213)
    floor (0.56805419921875 × 8192)
    floor (4653.5)     		tx = 4653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40863037109375 × 213)
    floor (0.40863037109375 × 8192)
    floor (3347.5)     		ty = 3347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4653 / 3347 ti = "13/4653/3347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4653/3347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4653 ÷ 213
    4653 ÷ 8192     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3347 ÷ 213
    3347 ÷ 8192     		y = 0.4085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4085693359375 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.574475805046753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574475805046753))-π/2
    2×atan(1.77619920817818)-π/2
    2×1.05802719159737-π/2
    2.11605438319474-1.57079632675     		φ = 0.54525806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54525806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.240986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4653 KachelY 3347 0.42721365 0.54525806 24.477539 31.240986
    Oben rechts KachelX + 1 4654 KachelY 3347 0.42798064 0.54525806 24.521484 31.240986
    Unten links KachelX 4653 KachelY + 1 3348 0.42721365 0.54460215 24.477539 31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 4654 KachelY + 1 3348 0.42798064 0.54460215 24.521484 31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54525806-0.54460215) × R
    0.000655909999999982 × 6371000     		dl = 4178.80260999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54525806-0.54460215) × R
    0.000655909999999982 × 6371000     		dr = 4178.80260999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(0.54525806) × R
    0.000766990000000023 × 0.854993479335995 × 6371000     		do = 4177.91989976922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(0.54460215) × R
    0.000766990000000023 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 4179.58128989475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54525806)-sin(0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854993479335995-0.855333475735648)×R²
    abs(0.42798064-0.42721365)×0.000339996399652764×R²
    0.000766990000000023×0.000339996399652764×6371000²
    0.000766990000000023×0.000339996399652764×40589641000000     		ar = 17462174.5182665m²