Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4653 / 3331
↖ ↑ ↗
← N 31.840232°
E 24.477539°		 ← 4 151.19 m → N 31.840232°
E 24.521484°		 →
↑
4 151.98 m
↓
↑
4 151.98 m
↓
N 31.802893°
E 24.477539°		 ← 4 152.86 m →
17 239 130 m²		 N 31.802893°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56805419921875 y=0.40667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56805419921875 × 213)
    floor (0.56805419921875 × 8192)
    floor (4653.5)     		tx = 4653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40667724609375 × 213)
    floor (0.40667724609375 × 8192)
    floor (3331.5)     		ty = 3331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4653 / 3331 ti = "13/4653/3331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4653/3331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4653 ÷ 213
    4653 ÷ 8192     		x = 0.5679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3331 ÷ 213
    3331 ÷ 8192     		y = 0.4066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5679931640625 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42721365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42721365} λ = 0.42721365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586747651349487))-π/2
    2×atan(1.7981307468631)-π/2
    2×1.06325661071836-π/2
    2.12651322143673-1.57079632675     		φ = 0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42721365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4653 KachelY 3331 0.42721365 0.55571689 24.477539 31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 4654 KachelY 3331 0.42798064 0.55571689 24.521484 31.840232
    Unten links KachelX 4653 KachelY + 1 3332 0.42721365 0.55506519 24.477539 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 4654 KachelY + 1 3332 0.42798064 0.55506519 24.521484 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55571689-0.55506519) × R
    0.000651700000000033 × 6371000     		dl = 4151.98070000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55571689-0.55506519) × R
    0.000651700000000033 × 6371000     		dr = 4151.98070000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(0.55571689) × R
    0.000766990000000023 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 4151.18580794392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42721365-0.42798064) × cos(0.55506519) × R
    0.000766990000000023 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 4152.8649316717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55571689)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.849866087030189)×R²
    abs(0.42798064-0.42721365)×0.000343625505681233×R²
    0.000766990000000023×0.000343625505681233×6371000²
    0.000766990000000023×0.000343625505681233×40589641000000     		ar = 17239129.8114932m²