Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46524 / 83484
↖ ↑ ↗
← S 44.142798°
W 52.218018°		 ← 219.18 m → S 44.142798°
W 52.215271°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 44.144769°
W 52.218018°		 ← 219.17 m →
48 034 m²		 S 44.144769°
W 52.215271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354953765869141 y=0.636936187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354953765869141 × 217)
    floor (0.354953765869141 × 131072)
    floor (46524.5)     		tx = 46524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636936187744141 × 217)
    floor (0.636936187744141 × 131072)
    floor (83484.5)     		ty = 83484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46524 / 83484 ti = "17/46524/83484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46524/83484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46524 ÷ 217
    46524 ÷ 131072     		x = 0.354949951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83484 ÷ 217
    83484 ÷ 131072     		y = 0.636932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.29010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.91137634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636932373046875 × 2 - 1) × π
    -0.27386474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860371474380768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91137634} λ = -0.91137634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860371474380768))-π/2
    2×atan(0.423004917638389)-π/2
    2×0.400179581834295-π/2
    0.80035916366859-1.57079632675     		φ = -0.77043716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91137634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.218018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77043716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.142798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46524 KachelY 83484 -0.91137634 -0.77043716 -52.218018 -44.142798
    Oben rechts KachelX + 1 46525 KachelY 83484 -0.91132840 -0.77043716 -52.215271 -44.142798
    Unten links KachelX 46524 KachelY + 1 83485 -0.91137634 -0.77047156 -52.218018 -44.144769
    Unten rechts KachelX + 1 46525 KachelY + 1 83485 -0.91132840 -0.77047156 -52.215271 -44.144769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77043716--0.77047156) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dl = 219.162400000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77043716--0.77047156) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dr = 219.162400000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91137634--0.91132840) × cos(-0.77043716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717606278540172 × 6371000     		do = 219.175428651635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91137634--0.91132840) × cos(-0.77047156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.717582320269505 × 6371000     		du = 219.168111179087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77043716)-sin(-0.77047156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717606278540172-0.717582320269505)×R²
    abs(-0.91132840--0.91137634)×2.39582706677011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39582706677011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39582706677011e-05×40589641000000     		ar = 48034.2111118856m²