Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46523 / 83451
↖ ↑ ↗
← S 44.077720°
W 52.220764°		 ← 219.37 m → S 44.077720°
W 52.218018°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 44.079693°
W 52.220764°		 ← 219.36 m →
48 133 m²		 S 44.079693°
W 52.218018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354946136474609 y=0.636684417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354946136474609 × 217)
    floor (0.354946136474609 × 131072)
    floor (46523.5)     		tx = 46523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636684417724609 × 217)
    floor (0.636684417724609 × 131072)
    floor (83451.5)     		ty = 83451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46523 / 83451 ti = "17/46523/83451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46523/83451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46523 ÷ 217
    46523 ÷ 131072     		x = 0.354942321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83451 ÷ 217
    83451 ÷ 131072     		y = 0.636680603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354942321777344 × 2 - 1) × π
    -0.290115356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.91142427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636680603027344 × 2 - 1) × π
    -0.273361206054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.858789556693306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91142427} λ = -0.91142427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858789556693306))-π/2
    2×atan(0.423674606155884)-π/2
    2×0.400747491525606-π/2
    0.801494983051213-1.57079632675     		φ = -0.76930134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91142427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.220764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76930134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.077720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46523 KachelY 83451 -0.91142427 -0.76930134 -52.220764 -44.077720
    Oben rechts KachelX + 1 46524 KachelY 83451 -0.91137634 -0.76930134 -52.218018 -44.077720
    Unten links KachelX 46523 KachelY + 1 83452 -0.91142427 -0.76933578 -52.220764 -44.079693
    Unten rechts KachelX + 1 46524 KachelY + 1 83452 -0.91137634 -0.76933578 -52.218018 -44.079693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76930134--0.76933578) × R
    3.444000000008e-05 × 6371000     		dl = 219.417240000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76930134--0.76933578) × R
    3.444000000008e-05 × 6371000     		dr = 219.417240000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91142427--0.91137634) × cos(-0.76930134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.718396856201844 × 6371000     		do = 219.371122355547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91142427--0.91137634) × cos(-0.76933578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.718372898158289 × 6371000     		du = 219.363806478733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76930134)-sin(-0.76933578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718396856201844-0.718372898158289)×R²
    abs(-0.91137634--0.91142427)×2.3958043554706e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3958043554706e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3958043554706e-05×40589641000000     		ar = 48133.003593094m²