Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4650 / 3373
↖ ↑ ↗
← N 30.259067°
E 24.345703°		 ← 4 220.74 m → N 30.259067°
E 24.389649°		 →
↑
4 221.55 m
↓
↑
4 221.55 m
↓
N 30.221102°
E 24.345703°		 ← 4 222.37 m →
17 821 503 m²		 N 30.221102°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56768798828125 y=0.41180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56768798828125 × 213)
    floor (0.56768798828125 × 8192)
    floor (4650.5)     		tx = 4650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41180419921875 × 213)
    floor (0.41180419921875 × 8192)
    floor (3373.5)     		ty = 3373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4650 / 3373 ti = "13/4650/3373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4650/3373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4650 ÷ 213
    4650 ÷ 8192     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3373 ÷ 213
    3373 ÷ 8192     		y = 0.4117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    0.176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.55453405480481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55453405480481))-π/2
    2×atan(1.74112952480453)-π/2
    2×1.04945833902975-π/2
    2.09891667805951-1.57079632675     		φ = 0.52812035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52812035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.259067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4650 KachelY 3373 0.42491268 0.52812035 24.345703 30.259067
    Oben rechts KachelX + 1 4651 KachelY 3373 0.42567967 0.52812035 24.389649 30.259067
    Unten links KachelX 4650 KachelY + 1 3374 0.42491268 0.52745773 24.345703 30.221102
    Unten rechts KachelX + 1 4651 KachelY + 1 3374 0.42567967 0.52745773 24.389649 30.221102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52812035-0.52745773) × R
    0.000662620000000058 × 6371000     		dl = 4221.55202000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52812035-0.52745773) × R
    0.000662620000000058 × 6371000     		dr = 4221.55202000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42567967) × cos(0.52812035) × R
    0.000766990000000023 × 0.863755771515487 × 6371000     		do = 4220.73678170933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42567967) × cos(0.52745773) × R
    0.000766990000000023 × 0.864089483159158 × 6371000     		du = 4222.36746141692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52812035)-sin(0.52745773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863755771515487-0.864089483159158)×R²
    abs(0.42567967-0.42491268)×0.000333711643670798×R²
    0.000766990000000023×0.000333711643670798×6371000²
    0.000766990000000023×0.000333711643670798×40589641000000     		ar = 17821502.5383893m²