Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4650 / 3353
↖ ↑ ↗
← N 31.015279°
E 24.345703°		 ← 4 187.87 m → N 31.015279°
E 24.389649°		 →
↑
4 188.74 m
↓
↑
4 188.74 m
↓
N 30.977609°
E 24.345703°		 ← 4 189.53 m →
17 545 374 m²		 N 30.977609°
E 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56768798828125 y=0.40936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56768798828125 × 213)
    floor (0.56768798828125 × 8192)
    floor (4650.5)     		tx = 4650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40936279296875 × 213)
    floor (0.40936279296875 × 8192)
    floor (3353.5)     		ty = 3353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4650 / 3353 ti = "13/4650/3353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4650/3353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4650 ÷ 213
    4650 ÷ 8192     		x = 0.567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3353 ÷ 213
    3353 ÷ 8192     		y = 0.4093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4093017578125 × 2 - 1) × π
    0.181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.569873862683228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42491268} λ = 0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.569873862683228))-π/2
    2×atan(1.76804402103905)-π/2
    2×1.0560575317182-π/2
    2.11211506343639-1.57079632675     		φ = 0.54131874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54131874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.015279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4650 KachelY 3353 0.42491268 0.54131874 24.345703 31.015279
    Oben rechts KachelX + 1 4651 KachelY 3353 0.42567967 0.54131874 24.389649 31.015279
    Unten links KachelX 4650 KachelY + 1 3354 0.42491268 0.54066127 24.345703 30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 4651 KachelY + 1 3354 0.42567967 0.54066127 24.389649 30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54131874-0.54066127) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dl = 4188.74137000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54131874-0.54066127) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dr = 4188.74137000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42491268-0.42567967) × cos(0.54131874) × R
    0.000766990000000023 × 0.857029924052875 × 6371000     		do = 4187.87097321371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42491268-0.42567967) × cos(0.54066127) × R
    0.000766990000000023 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 4189.52547680574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54131874)-sin(0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857029924052875-0.857368511152834)×R²
    abs(0.42567967-0.42491268)×0.000338587099958931×R²
    0.000766990000000023×0.000338587099958931×6371000²
    0.000766990000000023×0.000338587099958931×40589641000000     		ar = 17545374.1735679m²