Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 465 / 642
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
W 16.523438°		 ← 29.274 km → S 41.508577°
W 16.171875°		 →
↑
29.215 km
↓
↑
29.215 km
↓
S 41.771312°
W 16.523438°		 ← 29.155 km →
853.503 km²		 S 41.771312°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45458984375 y=0.62744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45458984375 × 210)
    floor (0.45458984375 × 1024)
    floor (465.5)     		tx = 465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62744140625 × 210)
    floor (0.62744140625 × 1024)
    floor (642.5)     		ty = 642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 465 / 642 ti = "10/465/642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/465/642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 465 ÷ 210
    465 ÷ 1024     		x = 0.4541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 642 ÷ 210
    642 ÷ 1024     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28838839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28838839} λ = -0.28838839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28838839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 465 KachelY 642 -0.28838839 -0.72446134 -16.523438 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 466 KachelY 642 -0.28225246 -0.72446134 -16.171875 -41.508577
    Unten links KachelX 465 KachelY + 1 643 -0.28838839 -0.72904692 -16.523438 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 466 KachelY + 1 643 -0.28225246 -0.72904692 -16.171875 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.72904692) × R
    0.00458558000000009 × 6371000     		dl = 29214.7301800006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.72904692) × R
    0.00458558000000009 × 6371000     		dr = 29214.7301800006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28838839--0.28225246) × cos(-0.72446134) × R
    0.00613593000000001 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 29274.3065086278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28838839--0.28225246) × cos(-0.72904692) × R
    0.00613593000000001 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 29155.1980804561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.28225246--0.28838839)×0.00304687397962644×R²
    0.00613593000000001×0.00304687397962644×6371000²
    0.00613593000000001×0.00304687397962644×40589641000000     		ar = 853502601.14973m²