Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 465 / 462
↖ ↑ ↗
← S 80.872827°
E146.953125°		 ← 12.402 km → S 80.872827°
E147.656250°		 →
↑
12.327 km
↓
↑
12.327 km
↓
S 80.983688°
E146.953125°		 ← 12.253 km →
151.961 km²		 S 80.983688°
E147.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9091796875 y=0.9033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9091796875 × 29)
    floor (0.9091796875 × 512)
    floor (465.5)     		tx = 465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9033203125 × 29)
    floor (0.9033203125 × 512)
    floor (462.5)     		ty = 462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 465 / 462 ti = "9/465/462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/465/462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 465 ÷ 29
    465 ÷ 512     		x = 0.908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 462 ÷ 29
    462 ÷ 512     		y = 0.90234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908203125 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56481588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90234375 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56481588} λ = 2.56481588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52800033836328))-π/2
    2×atan(0.0798184707431313)-π/2
    2×0.07964960825357-π/2
    0.15929921650714-1.57079632675     		φ = -1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56481588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 465 KachelY 462 2.56481588 -1.41149711 146.953125 -80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 466 KachelY 462 2.57708772 -1.41149711 147.656250 -80.872827
    Unten links KachelX 465 KachelY + 1 463 2.56481588 -1.41343200 146.953125 -80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 466 KachelY + 1 463 2.57708772 -1.41343200 147.656250 -80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41149711--1.41343200) × R
    0.00193489000000002 × 6371000     		dl = 12327.1841900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41149711--1.41343200) × R
    0.00193489000000002 × 6371000     		dr = 12327.1841900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56481588-2.57708772) × cos(-1.41149711) × R
    0.0122718400000004 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 12402.0243651185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56481588-2.57708772) × cos(-1.41343200) × R
    0.0122718400000004 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 12252.6393791081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41149711)-sin(-1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.156715647755291)×R²
    abs(2.57708772-2.56481588)×0.00191068749541815×R²
    0.0122718400000004×0.00191068749541815×6371000²
    0.0122718400000004×0.00191068749541815×40589641000000     		ar = 151961337.968208m²