Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46492 / 55085
↖ ↑ ↗
← N 27.574025°
W 52.305908°		 ← 270.73 m → N 27.574025°
W 52.303162°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
N 27.571591°
W 52.305908°		 ← 270.74 m →
73 289 m²		 N 27.571591°
W 52.303162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354709625244141 y=0.420269012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354709625244141 × 217)
    floor (0.354709625244141 × 131072)
    floor (46492.5)     		tx = 46492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420269012451172 × 217)
    floor (0.420269012451172 × 131072)
    floor (55085.5)     		ty = 55085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46492 / 55085 ti = "17/46492/55085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46492/55085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46492 ÷ 217
    46492 ÷ 131072     		x = 0.354705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55085 ÷ 217
    55085 ÷ 131072     		y = 0.420265197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.29058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.91291032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420265197753906 × 2 - 1) × π
    0.159469604492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.500988537929207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91291032} λ = -0.91291032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500988537929207))-π/2
    2×atan(1.6503519000476)-π/2
    2×1.02602692985666-π/2
    2.05205385971332-1.57079632675     		φ = 0.48125753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91291032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48125753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.574025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46492 KachelY 55085 -0.91291032 0.48125753 -52.305908 27.574025
    Oben rechts KachelX + 1 46493 KachelY 55085 -0.91286238 0.48125753 -52.303162 27.574025
    Unten links KachelX 46492 KachelY + 1 55086 -0.91291032 0.48121504 -52.305908 27.571591
    Unten rechts KachelX + 1 46493 KachelY + 1 55086 -0.91286238 0.48121504 -52.303162 27.571591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48125753-0.48121504) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48125753-0.48121504) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91291032--0.91286238) × cos(0.48125753) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.88641352042704 × 6371000     		do = 270.733505422883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91291032--0.91286238) × cos(0.48121504) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.886433188002822 × 6371000     		du = 270.739512406771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48125753)-sin(0.48121504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88641352042704-0.886433188002822)×R²
    abs(-0.91286238--0.91291032)×1.96675757823117e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.96675757823117e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.96675757823117e-05×40589641000000     		ar = 73289.399065693m²