Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4649 / 4838
↖ ↑ ↗
← S 30.977609°
E 24.301758°		 ← 4 189.53 m → S 30.977609°
E 24.345703°		 →
↑
4 188.74 m
↓
↑
4 188.74 m
↓
S 31.015279°
E 24.301758°		 ← 4 187.87 m →
17 545 374 m²		 S 31.015279°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56756591796875 y=0.59063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56756591796875 × 213)
    floor (0.56756591796875 × 8192)
    floor (4649.5)     		tx = 4649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59063720703125 × 213)
    floor (0.59063720703125 × 8192)
    floor (4838.5)     		ty = 4838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4649 / 4838 ti = "13/4649/4838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4649/4838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4649 ÷ 213
    4649 ÷ 8192     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4838 ÷ 213
    4838 ÷ 8192     		y = 0.590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.18115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.569106872289307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569106872289307))-π/2
    2×atan(0.566030750760454)-π/2
    2×0.515067526867086-π/2
    1.03013505373417-1.57079632675     		φ = -0.54066127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54066127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.977609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4649 KachelY 4838 0.42414569 -0.54066127 24.301758 -30.977609
    Oben rechts KachelX + 1 4650 KachelY 4838 0.42491268 -0.54066127 24.345703 -30.977609
    Unten links KachelX 4649 KachelY + 1 4839 0.42414569 -0.54131874 24.301758 -31.015279
    Unten rechts KachelX + 1 4650 KachelY + 1 4839 0.42491268 -0.54131874 24.345703 -31.015279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54066127--0.54131874) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dl = 4188.74137000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54066127--0.54131874) × R
    0.000657470000000049 × 6371000     		dr = 4188.74137000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(-0.54066127) × R
    0.000766989999999967 × 0.857368511152834 × 6371000     		do = 4189.52547680544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(-0.54131874) × R
    0.000766989999999967 × 0.857029924052875 × 6371000     		du = 4187.87097321341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54066127)-sin(-0.54131874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857368511152834-0.857029924052875)×R²
    abs(0.42491268-0.42414569)×0.000338587099958931×R²
    0.000766989999999967×0.000338587099958931×6371000²
    0.000766989999999967×0.000338587099958931×40589641000000     		ar = 17545374.1735666m²