Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4649 / 4825
↖ ↑ ↗
← S 30.486551°
E 24.301758°		 ← 4 210.93 m → S 30.486551°
E 24.345703°		 →
↑
4 210.08 m
↓
↑
4 210.08 m
↓
S 30.524413°
E 24.301758°		 ← 4 209.29 m →
17 724 908 m²		 S 30.524413°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56756591796875 y=0.58905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56756591796875 × 213)
    floor (0.56756591796875 × 8192)
    floor (4649.5)     		tx = 4649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58905029296875 × 213)
    floor (0.58905029296875 × 8192)
    floor (4825.5)     		ty = 4825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4649 / 4825 ti = "13/4649/4825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4649/4825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4649 ÷ 213
    4649 ÷ 8192     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4825 ÷ 213
    4825 ÷ 8192     		y = 0.5889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559135997168335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559135997168335))-π/2
    2×atan(0.571702803362907)-π/2
    2×0.519352818514424-π/2
    1.03870563702885-1.57079632675     		φ = -0.53209069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53209069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.486551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4649 KachelY 4825 0.42414569 -0.53209069 24.301758 -30.486551
    Oben rechts KachelX + 1 4650 KachelY 4825 0.42491268 -0.53209069 24.345703 -30.486551
    Unten links KachelX 4649 KachelY + 1 4826 0.42414569 -0.53275151 24.301758 -30.524413
    Unten rechts KachelX + 1 4650 KachelY + 1 4826 0.42491268 -0.53275151 24.345703 -30.524413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53209069--0.53275151) × R
    0.000660820000000006 × 6371000     		dl = 4210.08422000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53209069--0.53275151) × R
    0.000660820000000006 × 6371000     		dr = 4210.08422000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(-0.53209069) × R
    0.000766989999999967 × 0.861748272126041 × 6371000     		do = 4210.92714941281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(-0.53275151) × R
    0.000766989999999967 × 0.861412826155277 × 6371000     		du = 4209.28799492752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53209069)-sin(-0.53275151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861748272126041-0.861412826155277)×R²
    abs(0.42491268-0.42414569)×0.000335445970763848×R²
    0.000766989999999967×0.000335445970763848×6371000²
    0.000766989999999967×0.000335445970763848×40589641000000     		ar = 17724908.0991119m²