Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4649 / 3383
↖ ↑ ↗
← N 29.878756°
E 24.301758°		 ← 4 236.99 m → N 29.878756°
E 24.345703°		 →
↑
4 237.80 m
↓
↑
4 237.80 m
↓
N 29.840644°
E 24.301758°		 ← 4 238.61 m →
17 958 929 m²		 N 29.840644°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56756591796875 y=0.41302490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56756591796875 × 213)
    floor (0.56756591796875 × 8192)
    floor (4649.5)     		tx = 4649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41302490234375 × 213)
    floor (0.41302490234375 × 8192)
    floor (3383.5)     		ty = 3383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4649 / 3383 ti = "13/4649/3383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4649/3383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4649 ÷ 213
    4649 ÷ 8192     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3383 ÷ 213
    3383 ÷ 8192     		y = 0.4129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4129638671875 × 2 - 1) × π
    0.174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.546864150865601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.546864150865601))-π/2
    2×atan(1.72782631100561)-π/2
    2×1.04613949198378-π/2
    2.09227898396756-1.57079632675     		φ = 0.52148266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52148266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.878756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4649 KachelY 3383 0.42414569 0.52148266 24.301758 29.878756
    Oben rechts KachelX + 1 4650 KachelY 3383 0.42491268 0.52148266 24.345703 29.878756
    Unten links KachelX 4649 KachelY + 1 3384 0.42414569 0.52081749 24.301758 29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 4650 KachelY + 1 3384 0.42491268 0.52081749 24.345703 29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52148266-0.52081749) × R
    0.000665169999999993 × 6371000     		dl = 4237.79806999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52148266-0.52081749) × R
    0.000665169999999993 × 6371000     		dr = 4237.79806999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(0.52148266) × R
    0.000766989999999967 × 0.867081521787497 × 6371000     		do = 4236.98803809741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(0.52081749) × R
    0.000766989999999967 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 4238.60631476338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52148266)-sin(0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867081521787497-0.867412695201626)×R²
    abs(0.42491268-0.42414569)×0.000331173414129582×R²
    0.000766989999999967×0.000331173414129582×6371000²
    0.000766989999999967×0.000331173414129582×40589641000000     		ar = 17958929.357491m²