Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4649 / 3340
↖ ↑ ↗
← N 31.503629°
E 24.301758°		 ← 4 166.26 m → N 31.503629°
E 24.345703°		 →
↑
4 167.08 m
↓
↑
4 167.08 m
↓
N 31.466154°
E 24.301758°		 ← 4 167.93 m →
17 364 612 m²		 N 31.466154°
E 24.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56756591796875 y=0.40777587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56756591796875 × 213)
    floor (0.56756591796875 × 8192)
    floor (4649.5)     		tx = 4649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40777587890625 × 213)
    floor (0.40777587890625 × 8192)
    floor (3340.5)     		ty = 3340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4649 / 3340 ti = "13/4649/3340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4649/3340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4649 ÷ 213
    4649 ÷ 8192     		x = 0.5675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3340 ÷ 213
    3340 ÷ 8192     		y = 0.40771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5675048828125 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40771484375 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.579844737804199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42414569} λ = 0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579844737804199))-π/2
    2×atan(1.78576114802785)-π/2
    2×1.06031919224714-π/2
    2.12063838449428-1.57079632675     		φ = 0.54984206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54984206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.503629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4649 KachelY 3340 0.42414569 0.54984206 24.301758 31.503629
    Oben rechts KachelX + 1 4650 KachelY 3340 0.42491268 0.54984206 24.345703 31.503629
    Unten links KachelX 4649 KachelY + 1 3341 0.42414569 0.54918799 24.301758 31.466154
    Unten rechts KachelX + 1 4650 KachelY + 1 3341 0.42491268 0.54918799 24.345703 31.466154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54984206-0.54918799) × R
    0.000654070000000062 × 6371000     		dl = 4167.0799700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54984206-0.54918799) × R
    0.000654070000000062 × 6371000     		dr = 4167.0799700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(0.54984206) × R
    0.000766989999999967 × 0.852607064646969 × 6371000     		do = 4166.25870040383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42414569-0.42491268) × cos(0.54918799) × R
    0.000766989999999967 × 0.852948668209257 × 6371000     		du = 4167.92794391879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54984206)-sin(0.54918799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852607064646969-0.852948668209257)×R²
    abs(0.42491268-0.42414569)×0.000341603562287518×R²
    0.000766989999999967×0.000341603562287518×6371000²
    0.000766989999999967×0.000341603562287518×40589641000000     		ar = 17364611.7349613m²