Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4648 / 3350
↖ ↑ ↗
← N 31.128199°
E 24.257813°		 ← 4 182.90 m → N 31.128199°
E 24.301758°		 →
↑
4 183.77 m
↓
↑
4 183.77 m
↓
N 31.090574°
E 24.257813°		 ← 4 184.56 m →
17 503 771 m²		 N 31.090574°
E 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56744384765625 y=0.40899658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56744384765625 × 213)
    floor (0.56744384765625 × 8192)
    floor (4648.5)     		tx = 4648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40899658203125 × 213)
    floor (0.40899658203125 × 8192)
    floor (3350.5)     		ty = 3350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4648 / 3350 ti = "13/4648/3350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4648/3350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4648 ÷ 213
    4648 ÷ 8192     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3350 ÷ 213
    3350 ÷ 8192     		y = 0.408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408935546875 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57217483386499))-π/2
    2×atan(1.77211692339804)-π/2
    2×1.0570429473837-π/2
    2.11408589476739-1.57079632675     		φ = 0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4648 KachelY 3350 0.42337870 0.54328957 24.257813 31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 4649 KachelY 3350 0.42414569 0.54328957 24.301758 31.128199
    Unten links KachelX 4648 KachelY + 1 3351 0.42337870 0.54263288 24.257813 31.090574
    Unten rechts KachelX + 1 4649 KachelY + 1 3351 0.42414569 0.54263288 24.301758 31.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54328957-0.54263288) × R
    0.000656690000000015 × 6371000     		dl = 4183.7719900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54328957-0.54263288) × R
    0.000656690000000015 × 6371000     		dr = 4183.7719900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42414569) × cos(0.54328957) × R
    0.000766990000000023 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 4182.90059487351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42414569) × cos(0.54263288) × R
    0.000766990000000023 × 0.856352051717002 × 6371000     		du = 4184.55855459299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54328957)-sin(0.54263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.856352051717002)×R²
    abs(0.42414569-0.42337870)×0.000339294381693556×R²
    0.000766990000000023×0.000339294381693556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000339294381693556×40589641000000     		ar = 17503771.2375329m²