Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46474 / 56014
↖ ↑ ↗
← N 25.289405°
W 52.355347°		 ← 276.15 m → N 25.289405°
W 52.352600°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 25.286921°
W 52.355347°		 ← 276.16 m →
76 270 m²		 N 25.286921°
W 52.352600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354572296142578 y=0.427356719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354572296142578 × 217)
    floor (0.354572296142578 × 131072)
    floor (46474.5)     		tx = 46474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427356719970703 × 217)
    floor (0.427356719970703 × 131072)
    floor (56014.5)     		ty = 56014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46474 / 56014 ti = "17/46474/56014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46474/56014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46474 ÷ 217
    46474 ÷ 131072     		x = 0.354568481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56014 ÷ 217
    56014 ÷ 131072     		y = 0.427352905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.354568481445312 × 2 - 1) × π
    -0.290863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.91377318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427352905273438 × 2 - 1) × π
    0.145294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.456455158182175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91377318} λ = -0.91377318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456455158182175))-π/2
    2×atan(1.57846863420058)-π/2
    2×1.0060898510814-π/2
    2.01217970216279-1.57079632675     		φ = 0.44138338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91377318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.355347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44138338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.289405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46474 KachelY 56014 -0.91377318 0.44138338 -52.355347 25.289405
    Oben rechts KachelX + 1 46475 KachelY 56014 -0.91372524 0.44138338 -52.352600 25.289405
    Unten links KachelX 46474 KachelY + 1 56015 -0.91377318 0.44134003 -52.355347 25.286921
    Unten rechts KachelX + 1 46475 KachelY + 1 56015 -0.91372524 0.44134003 -52.352600 25.286921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44138338-0.44134003) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dl = 276.182849999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44138338-0.44134003) × R
    4.33499999999976e-05 × 6371000     		dr = 276.182849999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91377318--0.91372524) × cos(0.44138338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904161561541034 × 6371000     		do = 276.154214013045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91377318--0.91372524) × cos(0.44134003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.904180079407119 × 6371000     		du = 276.159869845997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44138338)-sin(0.44134003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904161561541034-0.904180079407119)×R²
    abs(-0.91372524--0.91377318)×1.85178660847551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85178660847551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85178660847551e-05×40589641000000     		ar = 76269.8388995636m²