Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4647 / 4839
↖ ↑ ↗
← S 31.015279°
E 24.213867°		 ← 4 187.87 m → S 31.015279°
E 24.257813°		 →
↑
4 187.02 m
↓
↑
4 187.02 m
↓
S 31.052934°
E 24.213867°		 ← 4 186.22 m →
17 531 239 m²		 S 31.052934°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56732177734375 y=0.59075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56732177734375 × 213)
    floor (0.56732177734375 × 8192)
    floor (4647.5)     		tx = 4647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59075927734375 × 213)
    floor (0.59075927734375 × 8192)
    floor (4839.5)     		ty = 4839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4647 / 4839 ti = "13/4647/4839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4647/4839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4647 ÷ 213
    4647 ÷ 8192     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4839 ÷ 213
    4839 ÷ 8192     		y = 0.5906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.181396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.569873862683228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569873862683228))-π/2
    2×atan(0.565596777060061)-π/2
    2×0.5147387950767-π/2
    1.0294775901534-1.57079632675     		φ = -0.54131874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54131874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.015279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4647 KachelY 4839 0.42261171 -0.54131874 24.213867 -31.015279
    Oben rechts KachelX + 1 4648 KachelY 4839 0.42337870 -0.54131874 24.257813 -31.015279
    Unten links KachelX 4647 KachelY + 1 4840 0.42261171 -0.54197594 24.213867 -31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 4648 KachelY + 1 4840 0.42337870 -0.54197594 24.257813 -31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54131874--0.54197594) × R
    0.000657200000000024 × 6371000     		dl = 4187.02120000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54131874--0.54197594) × R
    0.000657200000000024 × 6371000     		dr = 4187.02120000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42337870) × cos(-0.54131874) × R
    0.000766990000000023 × 0.857029924052875 × 6371000     		do = 4187.87097321371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42337870) × cos(-0.54197594) × R
    0.000766990000000023 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 4186.21533990596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54131874)-sin(-0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857029924052875-0.856691105761415)×R²
    abs(0.42337870-0.42261171)×0.000338818291460652×R²
    0.000766990000000023×0.000338818291460652×6371000²
    0.000766990000000023×0.000338818291460652×40589641000000     		ar = 17531239.0928258m²