Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4647 / 3550
↖ ↑ ↗
← N 23.322080°
E 24.213867°		 ← 4 487.24 m → N 23.322080°
E 24.257813°		 →
↑
4 487.86 m
↓
↑
4 487.86 m
↓
N 23.281719°
E 24.213867°		 ← 4 488.60 m →
20 141 146 m²		 N 23.281719°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56732177734375 y=0.43341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56732177734375 × 213)
    floor (0.56732177734375 × 8192)
    floor (4647.5)     		tx = 4647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43341064453125 × 213)
    floor (0.43341064453125 × 8192)
    floor (3550.5)     		ty = 3550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4647 / 3550 ti = "13/4647/3550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4647/3550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4647 ÷ 213
    4647 ÷ 8192     		x = 0.5672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3550 ÷ 213
    3550 ÷ 8192     		y = 0.433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5672607421875 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42261171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42261171} λ = 0.42261171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418776755080811))-π/2
    2×atan(1.52010096209132)-π/2
    2×0.988921705698008-π/2
    1.97784341139602-1.57079632675     		φ = 0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42261171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.213867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4647 KachelY 3550 0.42261171 0.40704708 24.213867 23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 4648 KachelY 3550 0.42337870 0.40704708 24.257813 23.322080
    Unten links KachelX 4647 KachelY + 1 3551 0.42261171 0.40634266 24.213867 23.281719
    Unten rechts KachelX + 1 4648 KachelY + 1 3551 0.42337870 0.40634266 24.257813 23.281719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40704708-0.40634266) × R
    0.000704419999999983 × 6371000     		dl = 4487.85981999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40704708-0.40634266) × R
    0.000704419999999983 × 6371000     		dr = 4487.85981999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42261171-0.42337870) × cos(0.40704708) × R
    0.000766990000000023 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 4487.23690260828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42261171-0.42337870) × cos(0.40634266) × R
    0.000766990000000023 × 0.918572535646619 × 6371000     		du = 4488.59853181562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40704708)-sin(0.40634266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.918572535646619)×R²
    abs(0.42337870-0.42261171)×0.00027865160689533×R²
    0.000766990000000023×0.00027865160689533×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027865160689533×40589641000000     		ar = 20141146.4313898m²