Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4646 / 4828
↖ ↑ ↗
← S 30.600094°
E 24.169922°		 ← 4 206.01 m → S 30.600094°
E 24.213867°		 →
↑
4 205.18 m
↓
↑
4 205.18 m
↓
S 30.637912°
E 24.169922°		 ← 4 204.36 m →
17 683 553 m²		 S 30.637912°
E 24.213867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56719970703125 y=0.58941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56719970703125 × 213)
    floor (0.56719970703125 × 8192)
    floor (4646.5)     		tx = 4646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58941650390625 × 213)
    floor (0.58941650390625 × 8192)
    floor (4828.5)     		ty = 4828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4646 / 4828 ti = "13/4646/4828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4646/4828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4646 ÷ 213
    4646 ÷ 8192     		x = 0.567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4828 ÷ 213
    4828 ÷ 8192     		y = 0.58935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567138671875 × 2 - 1) × π
    0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561436968350098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42184472} λ = 0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561436968350098))-π/2
    2×atan(0.570388843958924)-π/2
    2×0.518361968647957-π/2
    1.03672393729591-1.57079632675     		φ = -0.53407239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53407239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.600094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4646 KachelY 4828 0.42184472 -0.53407239 24.169922 -30.600094
    Oben rechts KachelX + 1 4647 KachelY 4828 0.42261171 -0.53407239 24.213867 -30.600094
    Unten links KachelX 4646 KachelY + 1 4829 0.42184472 -0.53473244 24.169922 -30.637912
    Unten rechts KachelX + 1 4647 KachelY + 1 4829 0.42261171 -0.53473244 24.213867 -30.637912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53407239--0.53473244) × R
    0.000660050000000023 × 6371000     		dl = 4205.17855000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53407239--0.53473244) × R
    0.000660050000000023 × 6371000     		dr = 4205.17855000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42184472-0.42261171) × cos(-0.53407239) × R
    0.000766989999999967 × 0.860741192740037 × 6371000     		do = 4206.00606275061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42184472-0.42261171) × cos(-0.53473244) × R
    0.000766989999999967 × 0.86040501154903 × 6371000     		du = 4204.36331561653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53407239)-sin(-0.53473244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860741192740037-0.86040501154903)×R²
    abs(0.42261171-0.42184472)×0.000336181191006202×R²
    0.000766989999999967×0.000336181191006202×6371000²
    0.000766989999999967×0.000336181191006202×40589641000000     		ar = 17683553.0957521m²