Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4646 / 12840
↖ ↑ ↗
← S 70.902268°
W 77.915039°		 ← 799.39 m → S 70.902268°
W 77.893066°		 →
↑
799.24 m
↓
↑
799.24 m
↓
S 70.909456°
W 77.915039°		 ← 799.10 m →
638 793 m²		 S 70.909456°
W 77.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283599853515625 y=0.783721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283599853515625 × 214)
    floor (0.283599853515625 × 16384)
    floor (4646.5)     		tx = 4646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783721923828125 × 214)
    floor (0.783721923828125 × 16384)
    floor (12840.5)     		ty = 12840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4646 / 12840 ti = "14/4646/12840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4646/12840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4646 ÷ 214
    4646 ÷ 16384     		x = 0.2835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12840 ÷ 214
    12840 ÷ 16384     		y = 0.78369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.35987397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.35987397} λ = -1.35987397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78248567547217))-π/2
    2×atan(0.168219488103227)-π/2
    2×0.166659149205025-π/2
    0.333318298410049-1.57079632675     		φ = -1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.35987397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4646 KachelY 12840 -1.35987397 -1.23747803 -77.915039 -70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 4647 KachelY 12840 -1.35949047 -1.23747803 -77.893066 -70.902268
    Unten links KachelX 4646 KachelY + 1 12841 -1.35987397 -1.23760348 -77.915039 -70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 4647 KachelY + 1 12841 -1.35949047 -1.23760348 -77.893066 -70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23747803--1.23760348) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dl = 799.241950000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23747803--1.23760348) × R
    0.000125450000000082 × 6371000     		dr = 799.241950000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.35987397--1.35949047) × cos(-1.23747803) × R
    0.000383500000000092 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 799.393051651335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.35987397--1.35949047) × cos(-1.23760348) × R
    0.000383500000000092 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 799.103405773194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23747803)-sin(-1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.327061939837396)×R²
    abs(-1.35949047--1.35987397)×0.000118548040323907×R²
    0.000383500000000092×0.000118548040323907×6371000²
    0.000383500000000092×0.000118548040323907×40589641000000     		ar = 638792.713687134m²