Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4645 / 3520
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
E 24.125977°		 ← 4 445.56 m → N 24.527135°
E 24.169922°		 →
↑
4 446.26 m
↓
↑
4 446.26 m
↓
N 24.487149°
E 24.125977°		 ← 4 446.97 m →
19 769 246 m²		 N 24.487149°
E 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56707763671875 y=0.42974853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56707763671875 × 213)
    floor (0.56707763671875 × 8192)
    floor (4645.5)     		tx = 4645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42974853515625 × 213)
    floor (0.42974853515625 × 8192)
    floor (3520.5)     		ty = 3520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4645 / 3520 ti = "13/4645/3520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4645/3520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4645 ÷ 213
    4645 ÷ 8192     		x = 0.5670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3520 ÷ 213
    3520 ÷ 8192     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5670166015625 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42107773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42107773} λ = 0.42107773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42107773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4645 KachelY 3520 0.42107773 0.42807926 24.125977 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 4646 KachelY 3520 0.42184472 0.42807926 24.169922 24.527135
    Unten links KachelX 4645 KachelY + 1 3521 0.42107773 0.42738137 24.125977 24.487149
    Unten rechts KachelX + 1 4646 KachelY + 1 3521 0.42184472 0.42738137 24.169922 24.487149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.42738137) × R
    0.000697890000000034 × 6371000     		dl = 4446.25719000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.42738137) × R
    0.000697890000000034 × 6371000     		dr = 4446.25719000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42107773-0.42184472) × cos(0.42807926) × R
    0.000766990000000023 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 4445.5594583069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42107773-0.42184472) × cos(0.42738137) × R
    0.000766990000000023 × 0.910054262327982 × 6371000     		du = 4446.97404640172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.42738137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.910054262327982)×R²
    abs(0.42184472-0.42107773)×0.000289489417230282×R²
    0.000766990000000023×0.000289489417230282×6371000²
    0.000766990000000023×0.000289489417230282×40589641000000     		ar = 19769246.3186989m²