Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4645 / 12838
S 70.887885°
W 77.937012°
← 799.95 m → S 70.887885°
W 77.915039°

799.82 m

799.82 m
S 70.895078°
W 77.937012°
← 799.66 m →
639 698 m²
S 70.895078°
W 77.915039°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283538818359375 y=0.783599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283538818359375 × 214)
    floor (0.283538818359375 × 16384)
    floor (4645.5)
    tx = 4645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783599853515625 × 214)
    floor (0.783599853515625 × 16384)
    floor (12838.5)
    ty = 12838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4645 / 12838 ti = "14/4645/12838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4645/12838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4645 ÷ 214
    4645 ÷ 16384
    x = 0.28350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12838 ÷ 214
    12838 ÷ 16384
    y = 0.7835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.28350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.4329833984375 × 3.1415926535
    Λ = -1.36025746
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.567138671875 × 3.1415926535
    Φ = -1.78171868507825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36025746} λ = -1.36025746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78171868507825))-π/2
    2×atan(0.168348560326923)-π/2
    2×0.166784666830562-π/2
    0.333569333661123-1.57079632675
    φ = -1.23722699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36025746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23722699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.887885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4645 KachelY 12838 -1.36025746 -1.23722699 -77.937012 -70.887885
    Oben rechts KachelX + 1 4646 KachelY 12838 -1.35987397 -1.23722699 -77.915039 -70.887885
    Unten links KachelX 4645 KachelY + 1 12839 -1.36025746 -1.23735253 -77.937012 -70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 4646 KachelY + 1 12839 -1.35987397 -1.23735253 -77.915039 -70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.23722699--1.23735253) × R
    0.00012553999999998 × 6371000
    dl = 799.81533999987m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.23722699--1.23735253) × R
    0.00012553999999998 × 6371000
    dr = 799.81533999987m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36025746--1.35987397) × cos(-1.23722699) × R
    0.000383489999999931 × 0.327417700792455 × 6371000
    do = 799.951769083778m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36025746--1.35987397) × cos(-1.23735253) × R
    0.000383489999999931 × 0.327299078015015 × 6371000
    du = 799.661948159503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.23722699)-sin(-1.23735253))×
    abs(λ12)×abs(0.327417700792455-0.327299078015015)×
    abs(-1.35987397--1.36025746)×0.000118622777440902×
    0.000383489999999931×0.000118622777440902×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118622777440902×40589641000000
    ar = 639697.795402685m²