Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46448 / 54640
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
W 52.426758°		 ← 268.03 m → N 28.652031°
W 52.424011°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
N 28.649620°
W 52.426758°		 ← 268.03 m →
71 839 m²		 N 28.649620°
W 52.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.354373931884766 y=0.416873931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.354373931884766 × 217)
    floor (0.354373931884766 × 131072)
    floor (46448.5)     		tx = 46448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416873931884766 × 217)
    floor (0.416873931884766 × 131072)
    floor (54640.5)     		ty = 54640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46448 / 54640 ti = "17/46448/54640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46448/54640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46448 ÷ 217
    46448 ÷ 131072     		x = 0.3543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54640 ÷ 217
    54640 ÷ 131072     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.91501954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.91501954} λ = -0.91501954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.91501954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46448 KachelY 54640 -0.91501954 0.50007227 -52.426758 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 46449 KachelY 54640 -0.91497160 0.50007227 -52.424011 28.652031
    Unten links KachelX 46448 KachelY + 1 54641 -0.91501954 0.50003020 -52.426758 28.649620
    Unten rechts KachelX + 1 46449 KachelY + 1 54641 -0.91497160 0.50003020 -52.424011 28.649620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.50003020) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.50003020) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.91501954--0.91497160) × cos(0.50007227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 268.02572025973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.91501954--0.91497160) × cos(0.50003020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877568082838914 × 6371000     		du = 268.031881101281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.50003020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877568082838914)×R²
    abs(-0.91497160--0.91501954)×2.01713239721402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01713239721402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01713239721402e-05×40589641000000     		ar = 71839.2153585031m²