Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4644 / 4918
↖ ↑ ↗
← S 33.943360°
E 24.082031°		 ← 4 053.79 m → S 33.943360°
E 24.125977°		 →
↑
4 052.91 m
↓
↑
4 052.91 m
↓
S 33.979809°
E 24.082031°		 ← 4 052.05 m →
16 426 117 m²		 S 33.979809°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56695556640625 y=0.60040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56695556640625 × 213)
    floor (0.56695556640625 × 8192)
    floor (4644.5)     		tx = 4644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60040283203125 × 213)
    floor (0.60040283203125 × 8192)
    floor (4918.5)     		ty = 4918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4644 / 4918 ti = "13/4644/4918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4644/4918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4644 ÷ 213
    4644 ÷ 8192     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4918 ÷ 213
    4918 ÷ 8192     		y = 0.600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.20068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630466103802979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630466103802979))-π/2
    2×atan(0.532343615787543)-π/2
    2×0.48918646827624-π/2
    0.978372936552479-1.57079632675     		φ = -0.59242339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59242339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.943360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4644 KachelY 4918 0.42031074 -0.59242339 24.082031 -33.943360
    Oben rechts KachelX + 1 4645 KachelY 4918 0.42107773 -0.59242339 24.125977 -33.943360
    Unten links KachelX 4644 KachelY + 1 4919 0.42031074 -0.59305954 24.082031 -33.979809
    Unten rechts KachelX + 1 4645 KachelY + 1 4919 0.42107773 -0.59305954 24.125977 -33.979809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59242339--0.59305954) × R
    0.000636150000000058 × 6371000     		dl = 4052.91165000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59242339--0.59305954) × R
    0.000636150000000058 × 6371000     		dr = 4052.91165000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(-0.59242339) × R
    0.000766989999999967 × 0.829589960699599 × 6371000     		do = 4053.78577640978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(-0.59305954) × R
    0.000766989999999967 × 0.829234583826295 × 6371000     		du = 4052.04922970296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59242339)-sin(-0.59305954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829589960699599-0.829234583826295)×R²
    abs(0.42107773-0.42031074)×0.000355376873304114×R²
    0.000766989999999967×0.000355376873304114×6371000²
    0.000766989999999967×0.000355376873304114×40589641000000     		ar = 16426117.1185803m²