Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4644 / 3315
↖ ↑ ↗
← N 32.435613°
E 24.082031°		 ← 4 124.17 m → N 32.435613°
E 24.125977°		 →
↑
4 125.03 m
↓
↑
4 125.03 m
↓
N 32.398516°
E 24.082031°		 ← 4 125.87 m →
17 015 848 m²		 N 32.398516°
E 24.125977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56695556640625 y=0.40472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56695556640625 × 213)
    floor (0.56695556640625 × 8192)
    floor (4644.5)     		tx = 4644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40472412109375 × 213)
    floor (0.40472412109375 × 8192)
    floor (3315.5)     		ty = 3315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4644 / 3315 ti = "13/4644/3315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4644/3315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4644 ÷ 213
    4644 ÷ 8192     		x = 0.56689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3315 ÷ 213
    3315 ÷ 8192     		y = 0.4046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56689453125 × 2 - 1) × π
    0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    0.190673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.599019497652222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42031074} λ = 0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599019497652222))-π/2
    2×atan(1.82033308422131)-π/2
    2×1.06845228462577-π/2
    2.13690456925155-1.57079632675     		φ = 0.56610824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56610824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.435613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4644 KachelY 3315 0.42031074 0.56610824 24.082031 32.435613
    Oben rechts KachelX + 1 4645 KachelY 3315 0.42107773 0.56610824 24.125977 32.435613
    Unten links KachelX 4644 KachelY + 1 3316 0.42031074 0.56546077 24.082031 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 4645 KachelY + 1 3316 0.42107773 0.56546077 24.125977 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56610824-0.56546077) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dl = 4125.0313700006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56610824-0.56546077) × R
    0.000647470000000094 × 6371000     		dr = 4125.0313700006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(0.56610824) × R
    0.000766989999999967 × 0.843994712660805 × 6371000     		do = 4124.17450021233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42031074-0.42107773) × cos(0.56546077) × R
    0.000766989999999967 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 4125.87057549405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56610824)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843994712660805-0.844341807229663)×R²
    abs(0.42107773-0.42031074)×0.000347094568858064×R²
    0.000766989999999967×0.000347094568858064×6371000²
    0.000766989999999967×0.000347094568858064×40589641000000     		ar = 17015847.9650477m²