Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4643 / 12835
↖ ↑ ↗
← S 70.866291°
W 77.980957°		 ← 800.82 m → S 70.866291°
W 77.958984°		 →
↑
800.71 m
↓
↑
800.71 m
↓
S 70.873492°
W 77.980957°		 ← 800.53 m →
641 108 m²		 S 70.873492°
W 77.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283416748046875 y=0.783416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283416748046875 × 214)
    floor (0.283416748046875 × 16384)
    floor (4643.5)     		tx = 4643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783416748046875 × 214)
    floor (0.783416748046875 × 16384)
    floor (12835.5)     		ty = 12835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4643 / 12835 ti = "14/4643/12835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4643/12835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4643 ÷ 214
    4643 ÷ 16384     		x = 0.28338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12835 ÷ 214
    12835 ÷ 16384     		y = 0.78338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.4332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36102445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.5667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78056819948737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36102445} λ = -1.36102445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78056819948737))-π/2
    2×atan(0.16854235437708)-π/2
    2×0.16697311390695-π/2
    0.333946227813901-1.57079632675     		φ = -1.23685010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36102445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23685010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.866291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4643 KachelY 12835 -1.36102445 -1.23685010 -77.980957 -70.866291
    Oben rechts KachelX + 1 4644 KachelY 12835 -1.36064096 -1.23685010 -77.958984 -70.866291
    Unten links KachelX 4643 KachelY + 1 12836 -1.36102445 -1.23697578 -77.980957 -70.873492
    Unten rechts KachelX + 1 4644 KachelY + 1 12836 -1.36064096 -1.23697578 -77.958984 -70.873492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23685010--1.23697578) × R
    0.000125680000000017 × 6371000     		dl = 800.707280000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23685010--1.23697578) × R
    0.000125680000000017 × 6371000     		dr = 800.707280000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36102445--1.36064096) × cos(-1.23685010) × R
    0.000383489999999931 × 0.327773793240305 × 6371000     		do = 800.82177941897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36102445--1.36064096) × cos(-1.23697578) × R
    0.000383489999999931 × 0.32765505368854 × 6371000     		du = 800.53167318994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23685010)-sin(-1.23697578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327773793240305-0.32765505368854)×R²
    abs(-1.36064096--1.36102445)×0.00011873955176489×R²
    0.000383489999999931×0.00011873955176489×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011873955176489×40589641000000     		ar = 641107.684522018m²