Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4641 / 3513
↖ ↑ ↗
← N 24.806682°
E 23.950195°		 ← 4 435.67 m → N 24.806682°
E 23.994141°		 →
↑
4 436.32 m
↓
↑
4 436.32 m
↓
N 24.766785°
E 23.950195°		 ← 4 437.09 m →
19 681 198 m²		 N 24.766785°
E 23.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56658935546875 y=0.42889404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56658935546875 × 213)
    floor (0.56658935546875 × 8192)
    floor (4641.5)     		tx = 4641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42889404296875 × 213)
    floor (0.42889404296875 × 8192)
    floor (3513.5)     		ty = 3513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4641 / 3513 ti = "13/4641/3513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4641/3513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4641 ÷ 213
    4641 ÷ 8192     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3513 ÷ 213
    3513 ÷ 8192     		y = 0.4288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447155399655884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447155399655884))-π/2
    2×atan(1.56385730329134)-π/2
    2×1.00187729645055-π/2
    2.0037545929011-1.57079632675     		φ = 0.43295827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43295827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.806682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4641 KachelY 3513 0.41800976 0.43295827 23.950195 24.806682
    Oben rechts KachelX + 1 4642 KachelY 3513 0.41877676 0.43295827 23.994141 24.806682
    Unten links KachelX 4641 KachelY + 1 3514 0.41800976 0.43226194 23.950195 24.766785
    Unten rechts KachelX + 1 4642 KachelY + 1 3514 0.41877676 0.43226194 23.994141 24.766785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43295827-0.43226194) × R
    0.000696329999999967 × 6371000     		dl = 4436.31842999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43295827-0.43226194) × R
    0.000696329999999967 × 6371000     		dr = 4436.31842999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41877676) × cos(0.43295827) × R
    0.000767000000000018 × 0.907728557743918 × 6371000     		do = 4435.66733794355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41877676) × cos(0.43226194) × R
    0.000767000000000018 × 0.908020488433387 × 6371000     		du = 4437.09387389769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43295827)-sin(0.43226194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907728557743918-0.908020488433387)×R²
    abs(0.41877676-0.41800976)×0.000291930689468978×R²
    0.000767000000000018×0.000291930689468978×6371000²
    0.000767000000000018×0.000291930689468978×40589641000000     		ar = 19681197.8397835m²