Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4641 / 12831
↖ ↑ ↗
← S 70.837462°
W 78.024902°		 ← 801.98 m → S 70.837462°
W 78.002930°		 →
↑
801.79 m
↓
↑
801.79 m
↓
S 70.844672°
W 78.024902°		 ← 801.69 m →
642 906 m²		 S 70.844672°
W 78.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283294677734375 y=0.783172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283294677734375 × 214)
    floor (0.283294677734375 × 16384)
    floor (4641.5)     		tx = 4641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783172607421875 × 214)
    floor (0.783172607421875 × 16384)
    floor (12831.5)     		ty = 12831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4641 / 12831 ti = "14/4641/12831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4641/12831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4641 ÷ 214
    4641 ÷ 16384     		x = 0.28326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12831 ÷ 214
    12831 ÷ 16384     		y = 0.78314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.4334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36179144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.5662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77903421869952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36179144} λ = -1.36179144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77903421869952))-π/2
    2×atan(0.168801093510326)-π/2
    2×0.167224695504641-π/2
    0.334449391009281-1.57079632675     		φ = -1.23634694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36179144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23634694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.837462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4641 KachelY 12831 -1.36179144 -1.23634694 -78.024902 -70.837462
    Oben rechts KachelX + 1 4642 KachelY 12831 -1.36140795 -1.23634694 -78.002930 -70.837462
    Unten links KachelX 4641 KachelY + 1 12832 -1.36179144 -1.23647279 -78.024902 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 4642 KachelY + 1 12832 -1.36140795 -1.23647279 -78.002930 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23634694--1.23647279) × R
    0.000125850000000094 × 6371000     		dl = 801.790350000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23634694--1.23647279) × R
    0.000125850000000094 × 6371000     		dr = 801.790350000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36179144--1.36140795) × cos(-1.23634694) × R
    0.000383489999999931 × 0.32824911527538 × 6371000     		do = 801.983093245078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36179144--1.36140795) × cos(-1.23647279) × R
    0.000383489999999931 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 801.692645335481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23634694)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32824911527538-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.36140795--1.36179144)×0.000118879400528626×R²
    0.000383489999999931×0.000118879400528626×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118879400528626×40589641000000     		ar = 642905.866710372m²