Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4640 / 4768
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 23.906250°		 ← 4 302.27 m → S 28.304381°
E 23.950195°		 →
↑
4 301.44 m
↓
↑
4 301.44 m
↓
S 28.343065°
E 23.906250°		 ← 4 300.70 m →
18 502 607 m²		 S 28.343065°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56646728515625 y=0.58209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56646728515625 × 213)
    floor (0.56646728515625 × 8192)
    floor (4640.5)     		tx = 4640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58209228515625 × 213)
    floor (0.58209228515625 × 8192)
    floor (4768.5)     		ty = 4768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4640 / 4768 ti = "13/4640/4768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4640/4768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4640 ÷ 213
    4640 ÷ 8192     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4768 ÷ 213
    4768 ÷ 8192     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4640 KachelY 4768 0.41724277 -0.49400464 23.906250 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 4641 KachelY 4768 0.41800976 -0.49400464 23.950195 -28.304381
    Unten links KachelX 4640 KachelY + 1 4769 0.41724277 -0.49467980 23.906250 -28.343065
    Unten rechts KachelX + 1 4641 KachelY + 1 4769 0.41800976 -0.49467980 23.950195 -28.343065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.49467980) × R
    0.000675160000000008 × 6371000     		dl = 4301.44436000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.49467980) × R
    0.000675160000000008 × 6371000     		dr = 4301.44436000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(-0.49400464) × R
    0.000766990000000023 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 4302.26953399592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41800976) × cos(-0.49467980) × R
    0.000766990000000023 × 0.880120769857609 × 6371000     		du = 4300.70423629897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.49467980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.880120769857609)×R²
    abs(0.41800976-0.41724277)×0.000320331494192638×R²
    0.000766990000000023×0.000320331494192638×6371000²
    0.000766990000000023×0.000320331494192638×40589641000000     		ar = 18502607.2045851m²