Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4640 / 12872
↖ ↑ ↗
← S 71.130988°
W 78.046875°		 ← 790.17 m → S 71.130988°
W 78.024902°		 →
↑
790 m
↓
↑
790 m
↓
S 71.138093°
W 78.046875°		 ← 789.88 m →
624 124 m²		 S 71.138093°
W 78.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283233642578125 y=0.785675048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283233642578125 × 214)
    floor (0.283233642578125 × 16384)
    floor (4640.5)     		tx = 4640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785675048828125 × 214)
    floor (0.785675048828125 × 16384)
    floor (12872.5)     		ty = 12872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4640 / 12872 ti = "14/4640/12872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4640/12872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4640 ÷ 214
    4640 ÷ 16384     		x = 0.283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12872 ÷ 214
    12872 ÷ 16384     		y = 0.78564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283203125 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36217494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36217494} λ = -1.36217494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7947575217749))-π/2
    2×atan(0.166167739520802)-π/2
    2×0.164663195545424-π/2
    0.329326391090848-1.57079632675     		φ = -1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36217494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4640 KachelY 12872 -1.36217494 -1.24146994 -78.046875 -71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 4641 KachelY 12872 -1.36179144 -1.24146994 -78.024902 -71.130988
    Unten links KachelX 4640 KachelY + 1 12873 -1.36217494 -1.24159394 -78.046875 -71.138093
    Unten rechts KachelX + 1 4641 KachelY + 1 12873 -1.36179144 -1.24159394 -78.024902 -71.138093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24146994--1.24159394) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dl = 790.004000000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24146994--1.24159394) × R
    0.000124000000000013 × 6371000     		dr = 790.004000000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36217494--1.36179144) × cos(-1.24146994) × R
    0.000383500000000092 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 790.170165025337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36217494--1.36179144) × cos(-1.24159394) × R
    0.000383500000000092 × 0.323288349533144 × 6371000     		du = 789.883473715007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24146994)-sin(-1.24159394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.323288349533144)×R²
    abs(-1.36179144--1.36217494)×0.000117338776701115×R²
    0.000383500000000092×0.000117338776701115×6371000²
    0.000383500000000092×0.000117338776701115×40589641000000     		ar = 624124.348208656m²