Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 464 / 467
↖ ↑ ↗
← S 81.413933°
E146.250000°		 ← 11.672 km → S 81.413933°
E146.953125°		 →
↑
11.602 km
↓
↑
11.602 km
↓
S 81.518272°
E146.250000°		 ← 11.532 km →
134.606 km²		 S 81.518272°
E146.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9072265625 y=0.9130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9072265625 × 29)
    floor (0.9072265625 × 512)
    floor (464.5)     		tx = 464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9130859375 × 29)
    floor (0.9130859375 × 512)
    floor (467.5)     		ty = 467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 464 / 467 ti = "9/464/467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/464/467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 464 ÷ 29
    464 ÷ 512     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 467 ÷ 29
    467 ÷ 512     		y = 0.912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912109375 × 2 - 1) × π
    -0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58935956987695))-π/2
    2×atan(0.0750681005668772)-π/2
    2×0.0749275670105992-π/2
    0.149855134021198-1.57079632675     		φ = -1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 464 KachelY 467 2.55254403 -1.42094119 146.250000 -81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 465 KachelY 467 2.56481588 -1.42094119 146.953125 -81.413933
    Unten links KachelX 464 KachelY + 1 468 2.55254403 -1.42276224 146.250000 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 465 KachelY + 1 468 2.56481588 -1.42276224 146.953125 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42094119--1.42276224) × R
    0.00182104999999999 × 6371000     		dl = 11601.9095499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42094119--1.42276224) × R
    0.00182104999999999 × 6371000     		dr = 11601.9095499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.56481588) × cos(-1.42094119) × R
    0.0122718499999999 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 11672.465503813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.56481588) × cos(-1.42276224) × R
    0.0122718499999999 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 11531.6649920006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42094119)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.147494006831501)×R²
    abs(2.56481588-2.55254403)×0.00180088752713012×R²
    0.0122718499999999×0.00180088752713012×6371000²
    0.0122718499999999×0.00180088752713012×40589641000000     		ar = 134606148.798074m²