Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 464 / 275
↖ ↑ ↗
← N 63.704723°
W 16.875000°		 ← 17.318 km → N 63.704723°
W 16.523438°		 →
↑
17.365 km
↓
↑
17.365 km
↓
N 63.548552°
W 16.875000°		 ← 17.413 km →
301.556 km²		 N 63.548552°
W 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45361328125 y=0.26904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45361328125 × 210)
    floor (0.45361328125 × 1024)
    floor (464.5)     		tx = 464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26904296875 × 210)
    floor (0.26904296875 × 1024)
    floor (275.5)     		ty = 275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 464 / 275 ti = "10/464/275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/464/275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 464 ÷ 210
    464 ÷ 1024     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 275 ÷ 210
    275 ÷ 1024     		y = 0.2685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45421378687402))-π/2
    2×atan(4.28111627230266)-π/2
    2×1.34132674111959-π/2
    2.68265348223917-1.57079632675     		φ = 1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 464 KachelY 275 -0.29452431 1.11185716 -16.875000 63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 465 KachelY 275 -0.28838839 1.11185716 -16.523438 63.704723
    Unten links KachelX 464 KachelY + 1 276 -0.29452431 1.10913147 -16.875000 63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 465 KachelY + 1 276 -0.28838839 1.10913147 -16.523438 63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11185716-1.10913147) × R
    0.00272569000000011 × 6371000     		dl = 17365.3709900007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11185716-1.10913147) × R
    0.00272569000000011 × 6371000     		dr = 17365.3709900007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.28838839) × cos(1.11185716) × R
    0.00613592000000002 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 17317.6264799015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.28838839) × cos(1.10913147) × R
    0.00613592000000002 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 17413.0888177768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11185716)-sin(1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.445439290109431)×R²
    abs(-0.28838839--0.29452431)×0.00244199501078496×R²
    0.00613592000000002×0.00244199501078496×6371000²
    0.00613592000000002×0.00244199501078496×40589641000000     		ar = 301556064.644194m²