Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4639 / 3820
↖ ↑ ↗
← N 12.039320°
E 23.862304°		 ← 4 779.01 m → N 12.039320°
E 23.906250°		 →
↑
4 779.40 m
↓
↑
4 779.40 m
↓
N 11.996338°
E 23.862304°		 ← 4 779.78 m →
22 842 626 m²		 N 11.996338°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56634521484375 y=0.46636962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56634521484375 × 213)
    floor (0.56634521484375 × 8192)
    floor (4639.5)     		tx = 4639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46636962890625 × 213)
    floor (0.46636962890625 × 8192)
    floor (3820.5)     		ty = 3820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4639 / 3820 ti = "13/4639/3820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4639/3820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4639 ÷ 213
    4639 ÷ 8192     		x = 0.5662841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3820 ÷ 213
    3820 ÷ 8192     		y = 0.46630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5662841796875 × 2 - 1) × π
    0.132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41647578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46630859375 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41647578} λ = 0.41647578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211689348722168))-π/2
    2×atan(1.23576393379898)-π/2
    2×0.890461055110551-π/2
    1.7809221102211-1.57079632675     		φ = 0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41647578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.862304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4639 KachelY 3820 0.41647578 0.21012578 23.862304 12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 4640 KachelY 3820 0.41724277 0.21012578 23.906250 12.039320
    Unten links KachelX 4639 KachelY + 1 3821 0.41647578 0.20937560 23.862304 11.996338
    Unten rechts KachelX + 1 4640 KachelY + 1 3821 0.41724277 0.20937560 23.906250 11.996338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21012578-0.20937560) × R
    0.000750180000000017 × 6371000     		dl = 4779.39678000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21012578-0.20937560) × R
    0.000750180000000017 × 6371000     		dr = 4779.39678000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41647578-0.41724277) × cos(0.21012578) × R
    0.000766989999999967 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 4779.01334013249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41647578-0.41724277) × cos(0.20937560) × R
    0.000766989999999967 × 0.978160886422083 × 6371000     		du = 4779.77660804176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21012578)-sin(0.20937560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.978160886422083)×R²
    abs(0.41724277-0.41647578)×0.000156199520590317×R²
    0.000766989999999967×0.000156199520590317×6371000²
    0.000766989999999967×0.000156199520590317×40589641000000     		ar = 22842626.0207627m²