Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4639 / 3566
↖ ↑ ↗
← N 70.743478°
W 78.068847°		 ← 805.77 m → N 70.743478°
W 78.046875°		 →
↑
805.93 m
↓
↑
805.93 m
↓
N 70.736230°
W 78.068847°		 ← 806.06 m →
649 511 m²		 N 70.736230°
W 78.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283172607421875 y=0.217681884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283172607421875 × 214)
    floor (0.283172607421875 × 16384)
    floor (4639.5)     		tx = 4639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217681884765625 × 214)
    floor (0.217681884765625 × 16384)
    floor (3566.5)     		ty = 3566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4639 / 3566 ti = "14/4639/3566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4639/3566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4639 ÷ 214
    4639 ÷ 16384     		x = 0.28314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3566 ÷ 214
    3566 ÷ 16384     		y = 0.2176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.4337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36255843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2176513671875 × 2 - 1) × π
    0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36255843} λ = -1.36255843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77404878113904))-π/2
    2×atan(5.89467134610929)-π/2
    2×1.40275146927464-π/2
    2.80550293854928-1.57079632675     		φ = 1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36255843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.068847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4639 KachelY 3566 -1.36255843 1.23470661 -78.068847 70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 4640 KachelY 3566 -1.36217494 1.23470661 -78.046875 70.743478
    Unten links KachelX 4639 KachelY + 1 3567 -1.36255843 1.23458011 -78.068847 70.736230
    Unten rechts KachelX + 1 4640 KachelY + 1 3567 -1.36217494 1.23458011 -78.046875 70.736230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23470661-1.23458011) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dl = 805.93149999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23470661-1.23458011) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dr = 805.93149999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36255843--1.36217494) × cos(1.23470661) × R
    0.000383489999999931 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 805.767630430195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36255843--1.36217494) × cos(1.23458011) × R
    0.000383489999999931 × 0.329917534115683 × 6371000     		du = 806.059398831622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23470661)-sin(1.23458011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329917534115683)×R²
    abs(-1.36217494--1.36255843)×0.000119419873611248×R²
    0.000383489999999931×0.000119419873611248×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119419873611248×40589641000000     		ar = 649511.088581728m²