Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4638 / 4807
↖ ↑ ↗
← S 29.802518°
E 23.818359°		 ← 4 240.22 m → S 29.802518°
E 23.862304°		 →
↑
4 239.45 m
↓
↑
4 239.45 m
↓
S 29.840644°
E 23.818359°		 ← 4 238.61 m →
17 972 807 m²		 S 29.840644°
E 23.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56622314453125 y=0.58685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56622314453125 × 213)
    floor (0.56622314453125 × 8192)
    floor (4638.5)     		tx = 4638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58685302734375 × 213)
    floor (0.58685302734375 × 8192)
    floor (4807.5)     		ty = 4807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4638 / 4807 ti = "13/4638/4807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4638/4807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4638 ÷ 213
    4638 ÷ 8192     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4807 ÷ 213
    4807 ÷ 8192     		y = 0.5867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545330170077759))-π/2
    2×atan(0.579650368534613)-π/2
    2×0.525322131984133-π/2
    1.05064426396827-1.57079632675     		φ = -0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4638 KachelY 4807 0.41570879 -0.52015206 23.818359 -29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 4639 KachelY 4807 0.41647578 -0.52015206 23.862304 -29.802518
    Unten links KachelX 4638 KachelY + 1 4808 0.41570879 -0.52081749 23.818359 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 4639 KachelY + 1 4808 0.41647578 -0.52081749 23.862304 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52015206--0.52081749) × R
    0.000665429999999967 × 6371000     		dl = 4239.45452999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52015206--0.52081749) × R
    0.000665429999999967 × 6371000     		dr = 4239.45452999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41647578) × cos(-0.52015206) × R
    0.000766990000000023 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 4240.22334750175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41647578) × cos(-0.52081749) × R
    0.000766990000000023 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 4238.60631476369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52015206)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867412695201626)×R²
    abs(0.41647578-0.41570879)×0.000330918849591022×R²
    0.000766990000000023×0.000330918849591022×6371000²
    0.000766990000000023×0.000330918849591022×40589641000000     		ar = 17972807.0735867m²