Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4638 / 3793
↖ ↑ ↗
← N 13.197164°
E 23.818359°		 ← 4 757.44 m → N 13.197164°
E 23.862304°		 →
↑
4 757.86 m
↓
↑
4 757.86 m
↓
N 13.154376°
E 23.818359°		 ← 4 758.27 m →
22 637 236 m²		 N 13.154376°
E 23.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56622314453125 y=0.46307373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56622314453125 × 213)
    floor (0.56622314453125 × 8192)
    floor (4638.5)     		tx = 4638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46307373046875 × 213)
    floor (0.46307373046875 × 8192)
    floor (3793.5)     		ty = 3793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4638 / 3793 ti = "13/4638/3793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4638/3793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4638 ÷ 213
    4638 ÷ 8192     		x = 0.566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3793 ÷ 213
    3793 ÷ 8192     		y = 0.4630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566162109375 × 2 - 1) × π
    0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.232398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41570879} λ = 0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232398089358032))-π/2
    2×atan(1.2616218671129)-π/2
    2×0.900565149823544-π/2
    1.80113029964709-1.57079632675     		φ = 0.23033397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23033397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.197164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4638 KachelY 3793 0.41570879 0.23033397 23.818359 13.197164
    Oben rechts KachelX + 1 4639 KachelY 3793 0.41647578 0.23033397 23.862304 13.197164
    Unten links KachelX 4638 KachelY + 1 3794 0.41570879 0.22958717 23.818359 13.154376
    Unten rechts KachelX + 1 4639 KachelY + 1 3794 0.41647578 0.22958717 23.862304 13.154376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23033397-0.22958717) × R
    0.000746799999999992 × 6371000     		dl = 4757.86279999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23033397-0.22958717) × R
    0.000746799999999992 × 6371000     		dr = 4757.86279999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41570879-0.41647578) × cos(0.23033397) × R
    0.000766990000000023 × 0.973590203053847 × 6371000     		do = 4757.4419944325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41570879-0.41647578) × cos(0.22958717) × R
    0.000766990000000023 × 0.973760427993439 × 6371000     		du = 4758.27379745761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23033397)-sin(0.22958717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973590203053847-0.973760427993439)×R²
    abs(0.41647578-0.41570879)×0.000170224939591956×R²
    0.000766990000000023×0.000170224939591956×6371000²
    0.000766990000000023×0.000170224939591956×40589641000000     		ar = 22637236.1428879m²