Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4637 / 4835
↖ ↑ ↗
← S 30.864510°
E 23.774414°		 ← 4 194.48 m → S 30.864510°
E 23.818359°		 →
↑
4 193.65 m
↓
↑
4 193.65 m
↓
S 30.902225°
E 23.774414°		 ← 4 192.83 m →
17 586 716 m²		 S 30.902225°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56610107421875 y=0.59027099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56610107421875 × 213)
    floor (0.56610107421875 × 8192)
    floor (4637.5)     		tx = 4637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59027099609375 × 213)
    floor (0.59027099609375 × 8192)
    floor (4835.5)     		ty = 4835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4637 / 4835 ti = "13/4637/4835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4637/4835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4637 ÷ 213
    4637 ÷ 8192     		x = 0.5660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4835 ÷ 213
    4835 ÷ 8192     		y = 0.5902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    0.132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41494180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.566805901107544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41494180} λ = 0.41494180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566805901107544))-π/2
    2×atan(0.567334670771833)-π/2
    2×0.516054500672567-π/2
    1.03210900134513-1.57079632675     		φ = -0.53868733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41494180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53868733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.864510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4637 KachelY 4835 0.41494180 -0.53868733 23.774414 -30.864510
    Oben rechts KachelX + 1 4638 KachelY 4835 0.41570879 -0.53868733 23.818359 -30.864510
    Unten links KachelX 4637 KachelY + 1 4836 0.41494180 -0.53934557 23.774414 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 4638 KachelY + 1 4836 0.41570879 -0.53934557 23.818359 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53868733--0.53934557) × R
    0.000658240000000032 × 6371000     		dl = 4193.6470400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53868733--0.53934557) × R
    0.000658240000000032 × 6371000     		dr = 4193.6470400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41494180-0.41570879) × cos(-0.53868733) × R
    0.000766989999999967 × 0.858382833102277 × 6371000     		do = 4194.48195420529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41494180-0.41570879) × cos(-0.53934557) × R
    0.000766989999999967 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 4192.83095757798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53868733)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858382833102277-0.858044963687684)×R²
    abs(0.41570879-0.41494180)×0.000337869414592906×R²
    0.000766989999999967×0.000337869414592906×6371000²
    0.000766989999999967×0.000337869414592906×40589641000000     		ar = 17586715.6180256m²