Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4637 / 3569
↖ ↑ ↗
← N 70.721726°
W 78.112793°		 ← 806.66 m → N 70.721726°
W 78.090820°		 →
↑
806.82 m
↓
↑
806.82 m
↓
N 70.714471°
W 78.112793°		 ← 806.96 m →
650 953 m²		 N 70.714471°
W 78.090820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283050537109375 y=0.217864990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283050537109375 × 214)
    floor (0.283050537109375 × 16384)
    floor (4637.5)     		tx = 4637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217864990234375 × 214)
    floor (0.217864990234375 × 16384)
    floor (3569.5)     		ty = 3569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4637 / 3569 ti = "14/4637/3569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4637/3569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4637 ÷ 214
    4637 ÷ 16384     		x = 0.28302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3569 ÷ 214
    3569 ÷ 16384     		y = 0.21783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.4339599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36332543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21783447265625 × 2 - 1) × π
    0.5643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77289829554816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36332543} λ = -1.36332543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77289829554816))-π/2
    2×atan(5.88789351131085)-π/2
    2×1.40256165222782-π/2
    2.80512330445564-1.57079632675     		φ = 1.23432698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36332543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.112793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23432698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.721726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4637 KachelY 3569 -1.36332543 1.23432698 -78.112793 70.721726
    Oben rechts KachelX + 1 4638 KachelY 3569 -1.36294193 1.23432698 -78.090820 70.721726
    Unten links KachelX 4637 KachelY + 1 3570 -1.36332543 1.23420034 -78.112793 70.714471
    Unten rechts KachelX + 1 4638 KachelY + 1 3570 -1.36294193 1.23420034 -78.090820 70.714471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23432698-1.23420034) × R
    0.000126640000000178 × 6371000     		dl = 806.823440001132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23432698-1.23420034) × R
    0.000126640000000178 × 6371000     		dr = 806.823440001132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36332543--1.36294193) × cos(1.23432698) × R
    0.00038349999999987 × 0.330156480733137 × 6371000     		do = 806.664231010665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36332543--1.36294193) × cos(1.23420034) × R
    0.00038349999999987 × 0.330276016901136 × 6371000     		du = 806.956291159908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23432698)-sin(1.23420034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330156480733137-0.330276016901136)×R²
    abs(-1.36294193--1.36332543)×0.000119536167998591×R²
    0.00038349999999987×0.000119536167998591×6371000²
    0.00038349999999987×0.000119536167998591×40589641000000     		ar = 650953.431146197m²